Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 24

Un campo vectorial, B, es conservativo cuando es irrotacional, es decir, cuando se tiene rot B = 0

\( \displaystyle rot \; \vec{B} = \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{B} =\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
B _x& B_y & B_z \\
\end{array}
\right| = \left( \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}\right) \hat{i} + \left( \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x}\right) \hat{j} \cdots \)

\( \displaystyle + \left( \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}\right) \hat{k} = (0 - 0)\hat{i} + (6x^2z - 6x^2z)\hat{j} + (4x - 4x)\hat{k} = 0 \)

Todas las componentes del rotacional son nulas, por lo que podemos deducir, según sabemos por la teoría, que el campo es conservativo.
Que el campo sea conservativo significa que la integral curvilínea a través de un circuito cerrado es nula o, lo que es igual, que el trabajo entre dos puntos se puede obtener como la diferencia de valores de la función potencial entre esos dos puntos.

\(\displaystyle\oint_{C}\vec{B}· \overrightarrow{dr} = \int \limits_{P}^{Q} \vec{B}· \overrightarrow{dr} = \phi(Q) - \phi(P)\)

Debemos calcular, por tanto, la función potencial de B. Sabemos que se cumple: B = Grad Φ o lo que es igual:

\(\displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial x} = B_x = 4·x·y - 3·x^2z^2 \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = B_y = 2·x^2 \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial z} = B_z = - 2·x^3z \)

Para obtener el valor de Φ podemos integrar una de las anteriores ecuaciones. Lo hacemos con la primera:

\( \displaystyle \int \frac{\partial \phi}{\partial x}·dx = \int (4xy - 3x^2z^2)dx \quad \Rightarrow \quad \phi = 2x^2 - x^3z^2 + \varphi(y, z)\)

En general, la función φ(y, z) será una función que depende de las otras dos variables respecto a las que no se ha realizado la integración. Para calcularla en nuestro caso, vamos a derivar la ecuación obtenida respecto a la variable y, igualando después el resultado con B_y:

\( \displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial y} = 2x^2 + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \quad \varphi \; \) no depende de y

Para encontrar la dependencia respecto de la variable z, hacemos de igual modo:

\( \displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial z} = - 2x^3z + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \quad \Rightarrow \quad -2x^3z + \frac{\partial \varphi}{\partial z} = -2x^3z \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0 \quad \Rightarrow \quad \varphi \; \) no depende de z

La función potencial valdrá entonces:

\( \phi(x, y, z) = 2x^2y - x^3z^2 + K \)

Y el trabajo entregado por el campo valdrá: W = Φ (Q) - Φ (P) = - 409 unidades