Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 29

Una matriz antisimétrica es aquella que tiene sus elementos iguales a los opuestos de su traspuesta:

\(A = - A^t \quad \rightarrow \quad a_{ij}= - a_{ji}\)

Debemos demostrar entonces que se ha de cumplir:

\( Si \quad A' = B·A·B^{-1}\quad \rightarrow \quad A' = A'^t \quad \rightarrow \quad a'_{ij}= - a'_{ji}\)

Aplicando la transformación de semejanza tenemos:

\( a'_{ij}= b_{ik}·a_{ke}·b_{je} = b_{ik}·(- a_{ek})·b_{je} = - b_{ik}·b_{je}· a_{ek} = - b_{je}·a_{ek}· b_{ik} \)

Aplicando de nuevo la propiedad de la matriz inversa de una matriz ortogonal, B^-1 = B^t, nos queda:

\( a'_{ij}= - b_{je}·a_{ek}·(B^t)_{ki} = - a'_{ji} \)

Puesto que se tiene:

\( (b_{je}) = B \quad ; \quad a_{ek} = A \quad ; \quad (B^t)_{ki} = B^t = B^{-1} \)