PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que la propiedad de las matrices antIsimétricas, A = - At se conserva en las transformaciones de semejanza.

- Respuesta del ejemplo 29


Una matriz antisimétrica es aquella que tiene sus elementos iguales a los opuestos de su traspuesta:
    \(A = - A^t \; \; \rightarrow \; \; a_{ij}= - a_{ji}\)
Debemos demostrar entonces que se ha de cumplir:
    \( Si \; \; A' = BAB^{-1}\; \; \rightarrow \; \; A' = A'^t \; \; \rightarrow \; \; a'_{ij}= - a'_{ji}\)
Aplicando la transformación de semejanza tenemos:
    \( a'_{ij}= b_{ik}a_{ke}b_{je} = b_{ik}(- a_{ek})b_{je} = - b_{ik}b_{je} a_{ek} = - b_{je}a_{ek} b_{ik} \)
Aplicando de nuevo la propiedad de la matriz inversa de una matriz ortogonal, B-1 = Bt, nos queda:
    \( a'_{ij}= - b_{je}a_{ek}(B^t)_{ki} = - a'_{ji} \)
Puesto que se tiene:
    \( (b_{je}) = B \; \; ; \; \; a_{ek} = A \; \; ; \; \; (B^t)_{ki} = B^t = B^{-1} \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás