Ejercicios de cálculo vectorial

Comprobar el teorema de Stokes siendo:

\( \vec{F} = (2x - y)· \hat{i} - yz^2 · \hat{j} - y^2z·\hat{k}\)

y S la superficie semiesférica que determina el plano XY al cortar a la esfera de ecuación

x² + y² + z² = 1

y la curva cerrada C ,la circunferencia en que se apoya.

- Respuesta del ejemplo 21

Según lo dicho podemos escribir:

\(C \equiv x^2 + y^2 = 1\)

\(S \equiv x^2 + y^2 + z^2= 1\)

Por otro lado, el teorema de Stokes dice:

\(\displaystyle\oint_{C}\vec{F}· \overrightarrow{dl} = \int_{S} rot \; \vec{F}· \overrightarrow{dS}\)

Con lo que tendremos \(rot \; \vec{F} = \hat{k} \; \) puesto que las demás componentes se anulan. Así :

\(\displaystyle \int_{S} rot \; \vec{F}· \overrightarrow{dS} = \int_{S} dS_z = \int_{S} dx · dy = \pi · 1^2 = \pi \)

Obteniendo ahora la integral curvilínea :

\(\displaystyle\oint_{C}\vec{F}· \overrightarrow{dl} = \int (2x - y)dx - \int y · z^2dy\)

y pasando a coordenadas polares:

\(\displaystyle\oint_{C}\vec{F}· \overrightarrow{dl} = \int_{2\pi} (2 \cos \varphi - \sin \varphi) d(\cos \varphi) - 0 = 2\int_{0}^{2\pi}\cos \varphi · d(\cos \varphi) - \)

\( \displaystyle - \int_{0}^{2\pi}\sin \varphi · d(\cos \varphi) = \left[\cos^2 \varphi\right]_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi}\sin^2 \varphi · d \varphi = \)

\( = \displaystyle 0 + \int_{0}^{2\pi}\frac{1 - \cos^2 \varphi}{2} · d \varphi = \left[\frac{\varphi}{2} - \frac{\sin 2\varphi}{4}\right]_{0}^{2\pi} = \pi \)