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EJERCICIOS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
 
Enunciado 8 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Cinco estudiantes, Ana, Juan, Luis, María y Pedro, están planificando un viaje en automóvil, para lo cual deben cumplir las siguientes condiciones :
Si María va, Pedro debe ir.
Si Juan va, Ana y María deben ir también
O Ana o Juan o ambos deben ir
O Luis o Pedro, pero no ambos, deben ir
O van Ana y Luis, ambos, o no va ninguno de los dos.
Deducir una función de conmutación que nos indique qué estudiantes pueden hacer juntos el viaje. Simplificar la función
tanto como sea posible. ¿Hay algún lio entre los estudiantes?.
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Enunciado 9 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, obtener la forma mas reducida de la expresión :
    \( F(A,B,C,D) = AB + \bar{A}\bar{D}+B\bar{D}+\bar{A}B + C\bar{D}A + \bar{A}D + CD + \bar{A}\bar{B}\bar{C} \)
En cada caso indicar claramente que teorema o propiedad del álgebra de Boole se aplica.
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Enunciado 10 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Dada la función \( F(A,B,C,D) = AB + \bar{C}\bar{D} \) realizarla utilizando únicamente puertas NOR de dos entradas.
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Enunciado 22 de Estructuras algebraicas

Comprobar que Z4 y Z8 son anillos respecto a la suma y el producto de clases. ¿Son anillos de integridad?
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Enunciado 23 de Estructuras algebraicas

Dados dos anillos con elemento unidad A, A’, consideremos el conjunto AxA’ con las operaciones:
    \( (x,x')+(y,y') = (x+y \; , \; x'+y') \; ; \; (x,x')(y,y') = (xy \; , \; x'y') \)
Probar si AxA’ es un anillo. ¿Tiene divisores de cero?. Si A y A’ son de integridad, ¿lo es AxA’?.
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Enunciado 24 de Estructuras algebraicas

Sea A un anillo tal que x² = x, para todo elemento x de A. Demostrar:
    \(x+x = 0 \; \forall x \in A \; ; \; xy = yx \; , \; \forall x, y \in A \)
Demostrar también que x•y = x es una relación de orden.
Teniendo en cuenta que:
    \( xy(x+y) = 0, \forall x, y \in A \)
Si A es íntegro, o bien no tiene más que un elemento o bien tiene dos elementos.
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Enunciado 25 de Estructuras algebraicas

Sea A un anillo unitario y conmutativo. Se dice que un ideal I, incluido en A, es un ideal primo si, siendo I distinto de A, se cumple:
    \( xy \in I \quad , \quad x \not\in I \quad \Rightarrow \quad y \in I \)
Demostrar que I es primo si y solo si A/I no tiene divisores de cero. Probar además que si K es un cuerpo y f un homomorfismo de anillos de A en K, el núcleo de f es un ideal primo de A.
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EJERCICIOS, CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

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tema escrito por: José Antonio Hervás