PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de álgebra de Boole

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Problemas resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 22

Sea definida la relación:
    \( a R b \quad \Leftrightarrow \quad a-b = \dot{m} \)
Que es una relación de equivalencia compatible con la suma de Z. Vamos a ver si es compatible con el producto:
    \( \left. \begin{array}{c}
    a R b \\
    \\
    a' R b'
    \end{array}\right\} \quad aa' R bb' \)
Y tenemos:
    \(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} a R b \Rightarrow a-b = \dot{m} \Rightarrow a = b+\dot{m} \\ \\ a' R b' \Rightarrow a'-b' = \dot{m} \Rightarrow a' = b'+\dot{m} \end{array}\right\} \\  \\ \quad a a' - b b' = (b+\dot{m})(b'+\dot{m}) - b b' \end{array} \)
Y operando con la última expresión:
    \( (b+\dot{m})(b'+\dot{m}) - b b' = b b' + b\dot{m} + \dot{m}b' + \dot{m}\dot{m} - bb' = \)

    \( =b\dot{m} + \dot{m}b' + \dot{m}\dot{m} = (b+b' + \dot{m})\dot{m} = \dot{m} \)
Y, por lo tanto, la relación es compatible con el producto.
El conjunto cociente para Z4 será:
    \( Z_4 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \)
Y las tablas de sumar y multiplicar serán, respectivamente:
    \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline + & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline\end{array} \qquad \qquad ; \qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ \hline 3 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \)
Z4 es un grupo conmutativo respecto a la suma de clases y estable para el producto de clases; por lo tanto, Z4 tiene estructura de anillo para la suma y la multiplicación de clases.
No es anillo de integridad pues se tiene: \( \bar{2}\bar{2} = \bar{0} \).
La comprobación para Z8 se puede realizar de un modo totalmente análogo, encontrándose que tampoco es anillo de integridad pues también contiene divisores de cero.
Zn será anillo de integridad cuando n sea un número primo.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE BOOLE
 


tema escrito por: José Antonio Hervás