PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra de proposiciones y de Boole

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas resueltos de Algebra de Boole

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de álgebra de Boole

Cinco estudiantes, Ana, Juan, Luis, María y Pedro, están planificando un viaje en automóvil, para lo cual deben cumplir las siguientes condiciones :
Si María va, Pedro debe ir.
Si Juan va, Ana y María deben ir también
O Ana o Juan o ambos deben ir
O Luis o Pedro, pero no ambos, deben ir
O van Ana y Luis, ambos, o no va ninguno de los dos.
Deducir una función de conmutación que nos indique qué estudiantes pueden hacer juntos el viaje. Simplificar la función
tanto como sea posible. ¿Hay algún lio entre los estudiantes?.

Respuesta al ejercicio 8
Para simplificar las expresiones, denotaremos por xi (con el subíndice tomado por orden alfabético) a cada uno de los estudiantes, de tal modo que xi sin complementar significa que el respectivo estudiante si irá en el viaje.

Dicho lo anterior y puesto que se deben cumplir todas las condiciones del enunciado, la función de conmutación que aplica vendrá dada por :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_4 > x_5)(x_2 > x_1x_4)(x_1+x_2)(x_3 \oplus x_5)(\overline{x_1 \oplus x_3}) \)
donde el signo > denota la función de implicación y ⊕ la función O-EXCLUSIVA. Teniendo en cuenta la relación entre las distintas funciones lógicas, tenemos :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

    \( \qquad = (\bar{x}_4 + x_5)(\bar{x}_2 + x_1 x_4)(x_1+x_2)(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5)(\overline{\bar{x}_1 x_3 + x_1 \bar{x}_3}) \)
Deshaciendo la complementación del último factor por aplicación de las leyes de Morgan nos queda :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

    \( = (\bar{x}_4 + x_5)(\bar{x}_2 + x_1 x_4)(x_1+x_2)(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5)(x_1 x_3 + \overline{x_1 x_3}) \)
Multiplicando el primero y segundo paréntesis por una parte y el tercero y quinto por otra y teniendo cuenta que el producto de un elemento por su complementario vale 0, el producto de un elemento por si mismo vale 1 y la ley de absorción, nos queda :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

    \( = (\bar{x}_4 \bar{x}_2 + x_5 \bar{x}_2 + x_5 x_1 x_4)(x_1 x_3 + x_2 \overline{x_1 x_3})(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5) \)
Multiplicando el segundo y tercer paréntesis y considerando de nuevo las propiedades básicas, resulta :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (\bar{x}_4 \bar{x}_2 + x_5 \bar{x}_2 + x_5 x_1 x_4)(x_1 x_3 \bar{x}_5 + \bar{x}_1 x_2 \bar{x}_3 x_5) \)
Deshaciendo los paréntesis y aplicando otra vez las propiedades básicas, nos queda finalmente :
    \( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_1 \bar{x}_2 x_3 \bar{x}_4 \bar{x}_5) \)
Lo que significa que si viajan de acuerdo a lo enunciado viajarán Ana y Luis, mientras que no lo harán Juan, María y Pedro.
Evidentemente, Ana y Luis están enamorados. La lógica no engaña.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE BOOLE
 
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás