Ejercicios de álgebra de Boole - Respuesta 8

Para simplificar las expresiones, denotaremos por x_i (con el subíndice tomado por orden alfabético) a cada uno de los estudiantes, de tal modo que x_i sin complementar significa que el respectivo estudiante si irá en el viaje.

Dicho lo anterior y puesto que se deben cumplir todas las condiciones del enunciado, la función de conmutación que aplica vendrá dada por :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_4 > x_5)(x_2 > x_1·x_4)(x_1+x_2)(x_3 \oplus x_5)(\overline{x_1 \oplus x_3}) \)

donde el signo > denota la función de implicación y ⊕ la función O-EXCLUSIVA. Teniendo en cuenta la relación entre las distintas funciones lógicas, tenemos :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

\( \qquad = (\bar{x}_4 + x_5)(\bar{x}_2 + x_1 x_4)(x_1+x_2)(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5)(\overline{\bar{x}_1 x_3 + x_1 \bar{x}_3}) \)

Deshaciendo la complementación del último factor por aplicación de las leyes de Morgan nos queda :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

\( \qquad = (\bar{x}_4 + x_5)(\bar{x}_2 + x_1 x_4)(x_1+x_2)(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5)(x_1 x_3 + \overline{x_1 x_3}) \)

Multiplicando el primero y segundo paréntesis por una parte y el tercero y quinto por otra y teniendo cuenta que el producto de un elemento por su complementario vale 0, el producto de un elemento por si mismo vale 1 y la ley de absorción, nos queda :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = \)

\( \qquad = (\bar{x}_4 \bar{x}_2 + x_5 \bar{x}_2 + x_5 x_1 x_4)(x_1 x_3 + x_2 \overline{x_1 x_3})(\bar{x}_3 x_5 + x_3 \bar{x}_5) \)

Multiplicando el segundo y tercer paréntesis y considerando de nuevo las propiedades básicas, resulta :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (\bar{x}_4 \bar{x}_2 + x_5 \bar{x}_2 + x_5 x_1 x_4)(x_1 x_3 \bar{x}_5 + \bar{x}_1 x_2 \bar{x}_3 x_5) \)

Deshaciendo los paréntesis y aplicando otra vez las propiedades básicas, nos queda finalmente :

\( f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_1 \bar{x}_2 x_3 \bar{x}_4 \bar{x}_5) \)

Lo que significa que si viajan de acuerdo a lo enunciado viajarán Ana y Luis, mientras que no lo harán Juan, María y Pedro.
Evidentemente, Ana y Luis están enamorados. La lógica no engaña.