Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 24

Podemos hacer:

\(\left.\begin{array}{l}
(x+x)^2 = (x+x) \; \textrm{por definicion} \\
\\
(x+x)^2 = (x+x)(x+x) = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = x+x+x+x
\end{array} \right\} \; x+x=0 \)

Y también:

\(\left.\begin{array}{l}
(x+y)^2 = (x+y) \; \textrm{por definicion} \\
\\
(x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x^2 + xy +y x + x^2 = x+xy+yx+x
\end{array} \right\} \; xy+yx=0 \)

Por otro lado, según la primera propiedad xy + xy = 0 , de donde resulta:

\( \left.\begin{array}{l}
xy+yx=0 \quad \Rightarrow \quad yx = - xy \\
\\
xy+xy=0 \quad \Rightarrow \quad xy = - xy
\end{array}\right\} \quad xy = yx \)

La relación definida en la forma:

\( x R y \quad \Leftrightarrow \quad x·y = x \)

Tiene las siguientes propiedades:
Propiedad reflexiva:

\( \forall x \in A \quad x R x \quad ; \quad x·x = x^2 = x \)

Propiedad antisimétrica:

Si \( x R y \wedge y R x \quad \left \{\begin{array}{l} x y = x \\ \\ y x = y \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; \textrm{ (2ª propiedad) } x y = y x = x = y \)

Propiedad transitiva:

Si \( x R y \wedge y R z \quad \left \{\begin{array}{l} x y = x \\ \\ y z = y \end{array}\right\} \quad \Leftrightarrow \quad \left \{\begin{array}{l} x(y z) = x y = x \\ \\ (x y) z = x z \end{array}\right\} \quad x z = x \quad \Leftrightarrow \quad x R z \)

Finalmente, comprobamos que xy(x+y) = 0 ; se tiene:

\( xy(x+y) = xyx + xy^2 = yx^2 + xy = yx + xy = yx + yx = 0 \)

Según propiedades ya demostradas.
Supongamos que x es distinto de 0; se tiene:

\( \left.\begin{array}{l}
x(x+y) = 0 \; \Rightarrow \; yx + y^2 = 0 \; \Rightarrow \; y^2 = -yx \\
\\
\textrm{ segun 1ª propiedad } \Rightarrow \; yx + yx = 0 \; \Rightarrow \; yx = - yx
\end{array}\right\} y^2 = yx \; \Rightarrow \; y = x \)

Y análogamente:

\( \left.\begin{array}{l}
x(x+y) = 0 \; \Rightarrow \; yx + y^2 = 0 \; \Rightarrow \; yx = -y \\
\\
\textrm{ segun 1ª propiedad } \Rightarrow \; y + y = 0 \; \Rightarrow \; y = - y
\end{array}\right\} yx = y \; \Rightarrow \; x = 1 \)

Por lo tanto, si A es íntegro, solo caben dos posibilidades:

1ª) sólo tiene como elemento a x ;

2ª) tiene como elementos a x y 1.