PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra de proposiciones y de Boole

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Problemas resueltos de Algebra de Boole

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Sea A un anillo tal que x² = x, para todo elemento x de A. Demostrar:
    \(x+x = 0 \; \forall x \in A \; ; \; xy = yx \; , \; \forall x, y \in A \)
Demostrar también que x•y = x es una relación de orden.
Teniendo en cuenta que:
    \( xy(x+y) = 0, \forall x, y \in A \)
Si A es íntegro, o bien no tiene más que un elemento o bien tiene dos elementos.

Respuesta al ejercicio 24

Podemos hacer:
    \(\left.\begin{array}{l}
    (x+x)^2 = (x+x) \; \textrm{por definicion} \\
    \\
    (x+x)^2 = (x+x)(x+x) = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = x+x+x+x
    \end{array} \right\} \; x+x=0 \)
Y también:
    \(\left.\begin{array}{l}
    (x+y)^2 = (x+y) \; \textrm{por definicion} \\
    \\
    (x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x^2 + xy +y x + x^2 = x+xy+yx+x
    \end{array} \right\} \; xy+yx=0 \)
Por otro lado, según la primera propiedad xy + xy = 0 , de donde resulta:
    \( \left.\begin{array}{l}
    xy+yx=0 \quad \Rightarrow \quad yx = - xy \\
    \\
    xy+xy=0 \quad \Rightarrow \quad xy = - xy
    \end{array}\right\} \quad xy = yx \)
La relación definida en la forma:
    \( x R y \quad \Leftrightarrow \quad xy = x \)
Tiene las siguientes propiedades:
Propiedad reflexiva:
    \( \forall x \in A \quad x R x \quad ; \quad xx = x^2 = x \)
Propiedad antisimétrica:
    Si \( x R y \wedge y R x \quad \left \{\begin{array}{l} x y = x \\ \\ y x = y \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; \textrm{ (2 propiedad) } x y = y x = x = y \)
Propiedad transitiva:
    Si \( x R y \wedge y R z \; \left \{\begin{array}{l} x y = x \\ \\ y z = y \end{array}\right\} \; \Leftrightarrow \; \left \{\begin{array}{l} x(y z) = x y = x \\ \\ (x y) z = x z \end{array}\right\} \; x z = x \; \Leftrightarrow \quad x R z \)
Finalmente, comprobamos que xy(x+y) = 0 ; se tiene:
    \( xy(x+y) = xyx + xy^2 = yx^2 + xy = yx + xy = yx + yx = 0 \)
Según propiedades ya demostradas.
Supongamos que x es distinto de 0; se tiene:
    \( \left.\begin{array}{l}
    x(x+y) = 0 \; \Rightarrow \; yx + y^2 = 0 \; \Rightarrow \; y^2 = -yx \\
    \\
    \textrm{ segun 1ª propiedad } \Rightarrow \; yx + yx = 0 \; \Rightarrow \; yx = - yx
    \end{array}\right\} y^2 = yx \; \Rightarrow \; y = x \)
Y análogamente:
    \( \left.\begin{array}{l}
    x(x+y) = 0 \; \Rightarrow \; yx + y^2 = 0 \; \Rightarrow \; yx = -y \\
    \\
    \textrm{ segun 1ª propiedad } \Rightarrow \; y + y = 0 \; \Rightarrow \; y = - y
    \end{array}\right\} yx = y \; \Rightarrow \; x = 1 \)
Por lo tanto, si A es íntegro, solo caben dos posibilidades:
    1ª) sólo tiene como elemento a x ;

    2ª) tiene como elementos a x y 1.
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tema escrito por: José Antonio Hervás