PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra de proposiciones y de Boole

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Sea A un anillo unitario y conmutativo. Se dice que un ideal I, incluido en A, es un ideal primo si, siendo I distinto de A, se cumple:
    \( xy \in I \quad , \quad x \not\in I \quad \Rightarrow \quad y \in I \)
Demostrar que I es primo si y solo si A/I no tiene divisores de cero. Probar además que si K es un cuerpo y f un homomorfismo de anillos de A en K, el núcleo de f es un ideal primo de A.

Respuesta al ejercicio 25

El ideal que contiene solamente al cero es la clase de equivalencia del cero, es decir:
    \(\bar{x} = \bar{0} \quad \Leftrightarrow \quad x R 0 \quad \Leftrightarrow \quad x - 0 \in I \quad \Rightarrow \quad x \in I \)
Supongamos que se tiene \(\overline{xy} = \bar{0}\), entonces:
    \(\overline{xy} = \bar{x}\bar{y} = \bar{0}\)
Si \( \bar{x} \neq \bar{0}\), al ser A/I íntegro, se tiene:
    \( \bar{y} = \bar{0} \quad \Leftrightarrow \quad y-0 \in I \quad \Rightarrow \quad y \in I \)
Para la segunda parte consideramos un homomorfismo de anillos, f, de A en K. sea:
    Sea \( xy \in \textrm{ker}(f) \wedge x \not\in \textrm{ker}(f) \quad \Rightarrow \quad f(xy) = 0 \wedge f(x) \neq 0 \)
Y podemos poner:
    \( f(x)f(y) = 0 \wedge f(x) \neq 0 \; \Rightarrow \; y \in \textrm{ker}(f) \)
Puesto que K, como cuerpo, no tiene divisores de cero.
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tema escrito por: José Antonio Hervás