Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 25

El ideal que contiene solamente al cero es la clase de equivalencia del cero, es decir:

\(\bar{x} = \bar{0} \quad \Leftrightarrow \quad x R 0 \quad \Leftrightarrow \quad x - 0 \in I \quad \Rightarrow \quad x \in I \)

Supongamos que se tiene \(\overline{x·y} = \bar{0}\), entonces:

\(\overline{x·y} = \bar{x}·\bar{y} = \bar{0}\)

Si \( \bar{x} \neq \bar{0}\), al ser A/I íntegro, se tiene:

\( \bar{y} = \bar{0} \quad \Leftrightarrow \quad y-0 \in I \quad \Rightarrow \quad y \in I \)

Para la segunda parte consideramos un homomorfismo de anillos, f, de A en K. sea:

Sea \( x·y \in \textrm{ker}(f) \wedge x \not\in \textrm{ker}(f) \quad \Rightarrow \quad f(x·y) = 0 \wedge f(x) \neq 0 \)

Y podemos poner:

\( f(x)·f(y) = 0 \wedge f(x) \neq 0 \; \Rightarrow \; y \in \textrm{ker}(f) \)

Puesto que K, como cuerpo, no tiene divisores de cero.