PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de álgebra de Boole

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Problemas resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 23

Es fácilmente comprobable que las operaciones definidas son estables en el conjunto AxA’. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:
    \([(x, x') + (y, y')] + (z, z') = (x+y \; , \; x'+y') + (z, z`) = \)

    \( = [(x+y) + z \; , \; (x'+y') + z'] = [x + (y+z) \; , \; x'+(y' + z')] = \)

    \( = (x, x') + [(y+z) \; , \; (y'+z')] = (x, x') + [(y, y') + (z, z')]\)
El elemento neutro y el elemento simétrico, serán respectivamente de la forma (0, 0’) y (-x , -x’)
Propiedad conmutativa:
    \(\begin{array}{l} (x, x') + (y, y') = (x+y \; , \; x'+y') = \\  \\ = (y+x \; , \; y'+x')= (y, y') + (x, x') \end{array} \)
La propiedad asociativa del producto se demuestra de modo análogo al caso aditivo:
    \(\begin{array}{l} [(x, x') (y, y')] (z, z') = (x y \; , \; x' y') (z, z`) = \\ = [(x y) z \; , \; (x' y') z'] = [x (y z) \; , \; x' (y' z')] = \\ = (x, x') [(y z) \; , \; (y' z')] = (x, x') [(y, y') (z, z')] \end{array}\)
Y para la propiedad distributiva tenemos:
    \((x,x') [(y, y') + (z, z')] = (x, x')[(y+z) \; , \; (y'+z')] = \)

    \(= [x(y+z) \; , \; x'(y'+z')] = [(x y + x z) \; , \; (x' y' + x' z') ] =\)

    \(= (x y \; , \; x' y') + (x z \; , \; x' z') = (x, x')(y, y') + (x, x')(z, z')\)
La comprobación por la izquierda sería similar.

El elemento unidad es de la forma (e , e’) siendo, respectivamente e y e’ los elementos unidad de A y de A’.

La estructura definida no es dominio de integridad, pues para los elementos de la forma (0 , x) e (y , 0), se tiene :
    \( (0, x) (y, 0) = (0 x \; , \; y 0) =(0, 0) \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE BOOLE
 


tema escrito por: José Antonio Hervás