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EJERCICIOS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
 
Enunciado 1 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.
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Enunciado 2 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Demostrar que para todos los elementos a, b, c de un álgebra de Boole se verifican los siguientes teoremas:

  Idempotencia: a + a = a ; a . a = a
  Elemento unidad: a + 1 = 1 ; a . 0 = 0
  Absorción : a + (a . b) = a ; a . (a + b) = a
  Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c ; a . (b . c) = (a . b) . c
  Complemento único: El elemento a' asociado al a es único
  Involución: (a')' = a
  En cualquier álgebra booleana: 0' = 1 ; 1' = 0
  Leyes de Morgan (a + b)' = a' . b' ; (a . b)' = a' + b'
  Relación de orden: si a ≤ b ⇒ a' + b = 1 ; si a ≤ b ⇒ a' . b = 0
  Sobre conjuntos: Cada álgebra booleana que pueda formarse es isomorfa al álgebra de conjuntos.
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Enunciado 3 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Demostrar que si P es un número entero primo, el anillo de los enteros módulo p forma un campo, denominado campo de Galois GF(P)
Enunciado 4 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

De las siguientes sentencias o frases, ¿cuales representan proposiciones?
a) 3 es un número primo
b) cuando se añade 5 a 7, la suma es 14
c) Existen seres vivos en Venus
d) Esta sentencia que Vd está leyendo es falsa
e) ¿Es primo el número ll?
Si la sentencia p es
"el buen tiempo es agradable"
escribir p' de varias formas.
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Enunciado 5 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

a) Sea p cierta, q falsa y r una proposición que puede ser cierta o falsa, ¿que se puede decir de las siguientes proposiciones?
p.p'       ;       p + r       ;       (p.q + r)(p + r)
b) Escribir en castellano razonable la negación de la proposición p + q , siendo :
p : "el número 15 es par"
q : "hay un número que, cuando se añade a 6, da una suma de 13"

Enunciado 6 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Analizar los siguientes razonamientos:

Pl : "Si Bernardo se casa, entonces Florinda se suicida"
P2 : "Florinda se suicida si y sólo si Bernardo no se hace monje"

C : "Si Bernardo se casa, entonces no se hace monje"
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Enunciado 7 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Consideremos un político que declara en la prensa :
Pl : "Si los impuestos suben, la inflación bajará si y só si el euro no se devalúa"
P2 : "Si la inflación baja o si el euro no se devalúa, los impuestos no subirán"
P3 : "O bien baja la inflación y se devalúa el euro, o bien los impuestos deben subir"
Dicho político realiza un informe en el que concluye :
C : "Los impuestos deben subir, pero la inflación bajará y el euro no se devaluará"
Analizar la validez de la conclusión.
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EJERCICIOS, CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

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tema escrito por: José Antonio Hervás