Problemas y ejercicios resueltos de Algebra de Boole y Algebra de proposiciones

Enunciado 1

Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.

Enunciado 2

Demostrar que para todos los elementos a, b, c de un álgebra de Boole se verifican los siguientes teoremas:

Idempotencia:	a + a = a	;	a . a = a
Elemento unidad:	a + 1 = 1	;	a . 0 = 0
Absorción :	a + (a . b) = a	;	a . (a + b) = a
Asociatividad:	a + (b + c) = (a + b) + c	;	a . (b . c) = (a . b) . c
Complemento único:	El elemento a' asociado al a es único
Involución:	(a')' = a
En cualquier álgebra booleana:	0' = 1	;	1' = 0
Leyes de Morgan	(a + b)' = a' . b'	;	(a . b)' = a' + b'
Relación de orden:	si a b a' + b = 1	;	si a b a' . b = 0
Sobre conjuntos:	Cada álgebra booleana que pueda formarse es isomorfa al álgebra de conjuntos.

Enunciado 3

Demostrar que si P es un número entero primo, el anillo de los enteros módulo p forma un campo, denominado campo de Galois GF(P)

Enunciado 4

De las siguientes sentencias o frases, ¿cuales representan proposiciones?

Si la sentencia p es

escribir p' de varias formas.

Enunciado 5

a) Sea p cierta, q falsa y r una proposición que puede ser cierta o falsa, ¿que se puede decir de las siguientes proposiciones?

b) Escribir en castellano razonable la negación de la proposición p + q , siendo :

Enunciado 6

Analizar los siguientes razonamientos:

Enunciado 7

Consideremos un político que declara en la prensa :

Dicho político realiza un informe en el que concluye :

Analizar la validez de la conclusión.

Enunciado 8

Cinco estudiantes, Ana, Juan, Luis, María y Pedro, están planificando un viaje en automóvil, para lo cual deben cumplir las siguientes condiciones :

Deducir una función de conmutación que nos indique qué estudiantes pueden hacer juntos el viaje. Simplificar la función
tanto como sea posible. ¿Hay algún lio entre los estudiantes?.

Enunciado 9

Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, obtener la forma mas reducida de la expresión :

En cada caso indicar claramente que teorema o propiedad del álgebra de Boole se aplica.

Enunciado 10

Dada la función

realizarla utilizando únicamente puertas NOR de dos entradas.

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