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EJERCICIOS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
 
Enunciado 1 de Estructuras algebraicas

Demostrar el teorema de idempotencia. Esto es, para todos los elementos de un retículo, \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) se cumple :
    \( a \vee a = a \quad ; \quad a \wedge a\)
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Enunciado 2 de Estructuras algebraicas

Demostrar que para todo par de elementos de un retículo, \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) , se tiene :
    \( a \vee b = a \quad \Leftrightarrow \quad a \wedge b = b \)
Enunciado 3 de Estructuras algebraicas

Sea \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) un retículo. Demostrar que la fórmula
    \(a \leq b = a \quad \Leftrightarrow \quad a \wedge b = a \quad \forall (a, b) \in L \)
define una relación de orden.
Enunciado 4 de Estructuras algebraicas

Demostrar que toda parte finita {a1, a2, ..., an} de un retículo T tiene un extremo superior y un extremo inferior dados por
    \( \displaystyle Sup_T\{a_1, a_2, иии, a_n\} = \bigvee_{j=1}^n a_j \quad ; \quad Inf_T\{a_1, a_2, иии, a_n\} = \bigwedge_{j=1}^n a_j \)
Enunciado 5 de Estructuras algebraicas

Demostrar que el orden de un retículo define un conjunto ordenado en el cual toda parte finita no vacía tiene un extremo inferior y un extremo superior. Recíprocamente, si P es un conjunto ordenado que posee esta propiedad, demostrar que las operaciones :
    \( a \wedge b = Inf\{a, b\} \quad ; \quad a \vee b = Sup \{a, b\} \quad \forall (a, b) \in P \)
Enunciado 6 de Estructuras algebraicas

Sea P(E) el conjunto de las partes de un conjunto E, incluyendo el conjunto vacío. Demostrar que P(E) es un retículo para las operaciones unión e intersección de conjuntos.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \), si a ∈ ∈ L y tiene un complemento \(\bar{a}\) , entonces
    \( \overset{=}{a} = a \)
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Enunciado 7 de Estructuras algebraicas

Sea N* el conjunto de los números naturales no nulos; sean a∨b y a∧b el m.c.d. y el m.c.m. respectivamente de dos números cualesquiera a, b N*. Demostrar que \(\langle N^*, \vee, \wedge \rangle \) es un retículo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás