Enunciado
1 de Estructuras algebraicas
Demostrar el teorema de idempotencia. Esto es, para todos los
elementos de un retículo, \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) se cumple :
\( a \vee a = a \quad ; \quad a \wedge a\)
Ver Solución
Enunciado 2 de Estructuras algebraicas
Demostrar que para todo par de elementos de un retículo,
\(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) , se tiene :
\( a \vee b = a \quad \Leftrightarrow \quad a \wedge b = b \)
Enunciado 3 de Estructuras algebraicas
Sea \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \) un retículo.
Demostrar que la fórmula
\(a \leq b = a \quad \Leftrightarrow \quad a \wedge b = a \quad
\forall (a, b) \in L \)
define una relación de orden.
Enunciado 4 de Estructuras algebraicas
Demostrar que toda parte finita {a1, a2,
..., an} de un retículo T tiene un extremo superior
y un extremo inferior dados por
\( \displaystyle Sup_T\{a_1, a_2, \cdots, a_n\} = \bigvee_{j=1}^n
a_j \quad ; \quad Inf_T\{a_1, a_2, \cdots, a_n\} = \bigwedge_{j=1}^n
a_j \)
Enunciado 5 de Estructuras algebraicas
Demostrar que el orden de un retículo define un conjunto
ordenado en el cual toda parte finita no vacía tiene un
extremo inferior y un extremo superior. Recíprocamente,
si P es un conjunto ordenado que posee esta propiedad, demostrar
que las operaciones :
\( a \wedge b = Inf\{a, b\} \quad ; \quad a \vee b = Sup \{a,
b\} \quad \forall (a, b) \in P \)
Enunciado 6 de Estructuras algebraicas
Sea P(E) el conjunto de las partes de un conjunto E, incluyendo
el conjunto vacío. Demostrar que P(E) es un retículo
para las operaciones unión e intersección de conjuntos.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de
un retículo; es decir, que en un retículo distributivo
\(\langle L, \vee, \wedge \rangle \), si a ∈ ∈
L y tiene un complemento \(\bar{a}\) , entonces
Ver Solución
Enunciado 7 de Estructuras algebraicas
Sea N* el conjunto de los números naturales no nulos; sean
a∨b y a∧b el m.c.d. y el m.c.m. respectivamente de dos
números cualesquiera a, b N*. Demostrar que \(\langle N^*, \vee, \wedge \rangle \) es un retículo.
Ver Solución
EJERCICIOS,
CUESTIONES Y PROBLEMAS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS;
ÁLGEBRA DE BOOLE Y ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
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