PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Sea N* el conjunto de los números naturales no nulos; sean a∨b y a∧b el m.c.d. y el m.c.m. respectivamente de dos números cualesquiera a, b N*. Demostrar que \(\langle N^*, \vee, \wedge \rangle \) es un retículo.

Respuesta al ejercicio7
Para dos elementos cualesquiera (a,b) ∈ N*, el mcd(a,b) es el mayor número c ∈ N* que divide a ambos. En cualquier caso el número l ∈ N* siempre será divisor de a y b, por lo que la operación mcd(a,b) es ley de composición interna.
Análogamente, el mcm(a,b) es el menor número c ∈ N* que es dividido por ambos. En cualquier caso el número a.b ∈ N* siempre será dividido por a y b, por lo que la operación mcm(a,b) es ley de composición interna. En estas condiciones podemos hacer: ∀ a, b , c ∈ N* :
mcd(a,b,c) = mcd{a , mcd(b,c)} = mcd{mcd(a,b) , c} ∈ N*
mcd(a, b) = mcd.(b , a) ∈ N*
mcd{a , mcm(a,b)} = a
Las dos primeras propiedades se deducen trivialmente de las reglas de la división ordinaria. La tercera es también sencilla:
está claro que el mcm(a, b) será "a" o "b" o un número que los divida a los dos; por lo tanto para cualquiera de los casos se tendrá el resultado final.
Para la otra operación se comprueban sin más complicaciones los axiomas.
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tema escrito por: José Antonio Hervás