Sea
P(E) el conjunto de las partes de un conjunto E, incluyendo el conjunto
vacío. Demostrar que P(E) es un retículo para las operaciones
unión e intersección de conjuntos.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo (L,
,
),
si a
L
y tiene un complemento 
,
entonces
N*,
el mcd(a,b) es el mayor número cN*
que divide a ambos. En cualquier caso el número l
N* siempre será divisor de a y b, por lo que la operación
mcd(a,b) es ley de composición interna.
Análogamente, el mcm(a,b) es el menor número cN*
que es dividido por ambos. En cualquier caso el número a.bN*
siempre será dividido por a y b, por lo que la operación
mcm(a,b) es ley de composición interna. En estas condiciones podemos
hacer : 
a,
b , cN*
:
está claro que el mcm(a, b) será "a" o "b" o un número que los divida a los dos; por lo tanto para cualquiera de los casos se tendrá el resultado final.
Para la otra operación se comprueban sin más complicaciones los axiomas.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo (L,
,),
si aL
y tiene un complemento ,
entoncesRespuestaPara dos elementos cualesquiera (a,b)
N*,
el mcd(a,b) es el mayor número cN*
que divide a ambos. En cualquier caso el número l
N* siempre será divisor de a y b, por lo que la operación
mcd(a,b) es ley de composición interna.Análogamente, el mcm(a,b) es el menor número c
N*
que es dividido por ambos. En cualquier caso el número a.bN*
siempre será dividido por a y b, por lo que la operación
mcm(a,b) es ley de composición interna. En estas condiciones podemos
hacer : a,
b , cN*
:mcd(a,b,c) = mcd{a , mcd(b,c)} = mcd{mcd(a,b) , c}Las dos primeras propiedades se deducen trivialmente de las reglas de la división ordinaria. La tercera es también sencilla:
mcd(a, b) = mcd.(b , a)
mcd{a , mcm(a,b)} = a
está claro que el mcm(a, b) será "a" o "b" o un número que los divida a los dos; por lo tanto para cualquiera de los casos se tendrá el resultado final.
Para la otra operación se comprueban sin más complicaciones los axiomas.