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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que toda parte finita {a1, a2, ..., an} de un retículo T tiene un extremo superior y un extremo inferior dados por
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Sup_T\{a_1, a_2, иии, a_n\} = \bigvee_{j=1}^n a_j \quad ;\\  \\ \quad Inf_T\{a_1, a_2, иии, a_n\} = \bigwedge_{j=1}^n a_j \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 4
Consideraremos únicamente el extremo inferior. Para todo elemento ak del conjunto finito {a1, a2, ..., an} podemos hacer :
    \( \displaystyle \left( \bigwedge_{j=1}^n a_j \right) \bigwedge a_k = \left[\left(\bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right)\bigwedge a_k \left(\bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right)\right] \bigwedge a_k \)
y aplicando los axiomas de conmutatividad y asociatividad y uno de los teoremas básicos del álgebra de retículos :
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \left( \bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right) \bigwedge a_k \bigwedge a_k \left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \\  \\ = \left( \bigwedge_{j=1}^{k-1} a_j \right) \bigwedge a_k \left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \\  \\ = \left( \bigwedge_{j=1}^k a_j \right)\left( \bigwedge_{j=k+1}^n a_j \right) = \bigwedge_{j=1}^n a_j \end{array}\)
Por lo que, finalmente, nos quedará :
    \(\displaystyle \bigwedge_{j=1}^n a_j \leq a_j \qquad , \forall a_j \in \{a_1, a_2, иии, a_n \} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás