Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 6

En el primer apartado tenemos que demostrar que para todo conjunto E, los elementos de P(E) cumplen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y absorción para las operaciones consideradas.
Por álgebra elemental sabemos que se cumple Card[ P(E)] = 2 exp[Card(E)], luego si E es finito, también lo será P(E)
Consideremos que E = {a, b, c}; tenemos :

P(E) = { ∅ ,{a} , {b} , {c} , {a,b} ,{a,c} ,{b,c}, {a,b,c}}

y para cualesquiera elementos que tomemos, las propiedades consideradas se cumplen trivialmente.

Para el segundo apartado, tenemos que según las propiedades de los complementos podemos escribir:

\( \bar{a} \vee a = 1 \quad ; \quad \bar{a} \vee \overset{=}{a} = 1 \)

de ahí resulta:

\(
(\bar{a} \vee a)\wedge (\bar{a} \vee \overset{=}{a})\; = \; \left\{\begin{array}{l}
\bar{a} \vee a = 1 \\
\\
\bar{a} \vee \overset{=}{a} = 1
\end{array}\right. \)

aplicando la propiedad distributiva :

\((\bar{a} \vee a)\wedge (\bar{a} \vee \overset{=}{a}) = \bar{a}\vee (\overset{=}{a} \wedge a) = 1\)

por lo tanto, \((\overset{=}{a} \wedge a) \) es complementario de \(a\) , es decir, se cumple una de las dos igualdades :

\( (\overset{=}{a} \wedge a) = \overset{=}{a} \quad \vee \quad (\overset{=}{a} \wedge a) = a \)

Y aplicando el teorema 3 (problema 3) resulta :

\( \left.\begin{array}{l}
Si \; (\overset{=}{a} \wedge a) = \overset{=}{a} \quad \Rightarrow \quad \overset{=}{a} \leq a \\
\\
Si \; (\overset{=}{a} \wedge a) = a \quad \Rightarrow \quad \overset{=}{a} \geq a
\end{array}\right\} \quad \overset{=}{a} = a \)