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Ejercicios de estructuras algebraicas

Sea P(E) el conjunto de las partes de un conjunto E, incluyendo el conjunto vacío. Demostrar que P(E) es un retículo para las operaciones unión e intersección de conjuntos.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo \(\langle L, \vee, \wedge \rangle \), si a ∈ ∈ L y tiene un complemento \(\bar{a}\) , entonces
    \( \overset{=}{a} = a \)
Respuesta al ejercicio 6
En el primer apartado tenemos que demostrar que para todo conjunto E, los elementos de P(E) cumplen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y absorción para las operaciones consideradas.
Por álgebra elemental sabemos que se cumple Card[ P(E)] = 2 exp[Card(E)], luego si E es finito, también lo será P(E)
Consideremos que E = {a, b, c}; tenemos :
P(E) = { ∅ ,{a} , {b} , {c} , {a,b} ,{a,c} ,{b,c}, {a,b,c}}
y para cualesquiera elementos que tomemos, las propiedades consideradas se cumplen trivialmente.

Para el segundo apartado, tenemos que según las propiedades de los complementos podemos escribir:
    \( \bar{a} \vee a = 1 \quad ; \quad \bar{a} \vee \overset{=}{a} = 1 \)
de ahí resulta:
    \(
    (\bar{a} \vee a)\wedge (\bar{a} \vee \overset{=}{a})\; = \; \left\{\begin{array}{l}
    \bar{a} \vee a = 1 \\
    \\
    \bar{a} \vee \overset{=}{a} = 1
    \end{array}\right. \)
aplicando la propiedad distributiva :
    \((\bar{a} \vee a)\wedge (\bar{a} \vee \overset{=}{a}) = \bar{a}\vee (\overset{=}{a} \wedge a) = 1\)
por lo tanto, \((\overset{=}{a} \wedge a) \) es complementario de \(a\) , es decir, se cumple una de las dos igualdades :
    \( (\overset{=}{a} \wedge a) = \overset{=}{a} \quad \vee \quad (\overset{=}{a} \wedge a) = a \)
Y aplicando el teorema 3 (problema 3) resulta :
    \( \left.\begin{array}{l}
    Si \; (\overset{=}{a} \wedge a) = \overset{=}{a} \quad \Rightarrow \quad \overset{=}{a} \leq a \\
    \\
    Si \; (\overset{=}{a} \wedge a) = a \quad \Rightarrow \quad \overset{=}{a} \geq a
    \end{array}\right\} \quad \overset{=}{a} = a \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás