Sea
P(E) el conjunto de las partes de un conjunto E, incluyendo el conjunto
vacío. Demostrar que P(E) es un retículo para las operaciones
unión e intersección de conjuntos.
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo (L,
,
),
si a
L
y tiene un complemento 
,
entonces
Por álgebra elemental sabemos que se cumple Card[ P(E)] = 2 exp[Card(E)], luego si E es finito, también lo será P(E)
Consideremos que E = {a, b, c}; tenemos :
Para el segundo apartado, tenemos que según las propiedades de los complementos podemos escribir
de ahí resulta:
aplicando la propiedad distributiva :
por lo tanto,
es
complementario de a , es decir una de las dos igualdades :
Por lo tanto, aplicando el teorema 3 (problema 3) resulta :
Demostrar la propiedad de involución para elementos de un retículo; es decir, que en un retículo distributivo (L,
,),
si aL
y tiene un complemento ,
entoncesRespuestaEn el primer apartado tenemos que demostrar que para todo conjunto E, los elementos de P(E) cumplen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y absorción para las operaciones consideradas.
Por álgebra elemental sabemos que se cumple Card[ P(E)] = 2 exp[Card(E)], luego si E es finito, también lo será P(E)
Consideremos que E = {a, b, c}; tenemos :
P(E) = {y para cualesquiera elementos que tomemos, las propiedades consideradas se cumplen trivialmente., {a} , {b} , {c} , {a,b} ,{a,c} ,{b,c}, {a,b,c}}
Para el segundo apartado, tenemos que según las propiedades de los complementos podemos escribir
de ahí resulta:
aplicando la propiedad distributiva :
por lo tanto,
es
complementario de a , es decir una de las dos igualdades :Por lo tanto, aplicando el teorema 3 (problema 3) resulta :