Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 3

Una relación de orden cumple las siguientes propiedades :

Reflexiva : \( \forall a \in E \quad \Rightarrow \quad a R a\)

Antisimétrica : Si \(\; (aRb) \wedge (bRa)\quad \Rightarrow \quad a = b \)

Transitiva: Si \( \; (aRb) \wedge (bRc)\quad \Rightarrow \quad a R c\)

Tenemos entonces :

\( \forall a \in \langle L, \vee, \wedge\rangle \quad \Rightarrow \quad a \wedge a = a (por \; T1) \quad \Rightarrow \quad a R a \)

y se cumple la reflexividad.

\(\left.\begin{array}{l}
Si \; (aRb)\quad \Rightarrow \quad a \wedge = a \\
\\
Si \; (bRa) \quad \Rightarrow \quad b \wedge a = a \wedge b
\end{array}\right\} \quad a = b \quad ) \) (por A2)

y se cumple la antisimetricidad

\( \left.\begin{array}{l}
Si \; (aRb)\quad \Rightarrow \quad a \wedge = a \\
\\
Si \; (bRc) \quad \Rightarrow \quad b \wedge c = b
\end{array}\right\} \quad a \wedge c = (a \wedge b)\wedge c = a \wedge (b \wedge c) = a \wedge b = a \; \Rightarrow \; a R c \)

y se cumple la transitividad.