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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que el orden de un retículo define un conjunto ordenado en el cual toda parte finita no vacía tiene un extremo inferior y un extremo superior. Recíprocamente, si P es un conjunto ordenado que posee esta propiedad, demostrar que las operaciones :
    \( a \wedge b = Inf\{a, b\} \quad ; \quad a \vee b = Sup \{a, b\} \quad \forall (a, b) \in P \)
Respuesta al ejercicio 5
Tomemos una parte finita no vacía de un retículo T. Si dos elementos de dicha parte están ordenados se cumplirá una de las dos condiciones siguientes:
    \( \begin{array}{c} a\leq b \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = a \quad \Rightarrow \; \textrm{(definicion)} \; a = Inf (a, b)\\ \\ b\leq a \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = b \quad \Rightarrow \; \; \textrm{(definicion)} \; b = Inf (a, b) \end{array} \qquad (\ast) \)
De ese modo, para todo conjunto de elementos ordenados podemos tomar un extremo superior y un extremos inferior.
Veamos por otro lado si las operaciones dadas en (*) definen un retículo. Se deberán cumplir los axiomas correspondientes :
asociatividad, conmutatividad, absorción.
Si a, b, c son elementos de un conjunto ordenado, tendremos :
sup(a,b,c) = sup {a , sup (b,c)} = sup {sup (a,b) , c} : asociatividad
sup (a , b) = sup (b ,a) : conmutatividad
sup {a , inf ( a, b)} = a : absorción
Los tres axiomas se cumplen de forma trivial para la operación sup(a,b) y puede demostrarse de igual modo que también ocurre así para la operación inf(a,b). Con todo ello queda demostrado lo que pretendíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás