PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios resueltos de Estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio5
Tomemos una parte finita no vacía de un retículo T. Si dos elementos de dicha parte están ordenados se cumplirá una de las dos condiciones siguientes:
    \( \begin{array}{c} a\leq b \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = a \quad \Rightarrow \; \textrm{(definicion)} \; a = Inf (a, b)\\ \\ b\leq a \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = b \quad \Rightarrow \; \; \textrm{(definicion)} \; b = Inf (a, b) \end{array} \qquad (\ast) \)
De ese modo, para todo conjunto de elementos ordenados podemos tomar un extremo superior y un extremos inferior.
Veamos por otro lado si las operaciones dadas en (*) definen un retículo. Se deberán cumplir los axiomas correspondientes :
asociatividad, conmutatividad, absorción.
Si a, b, c son elementos de un conjunto ordenado, tendremos :
sup(a,b,c) = sup {a , sup (b,c)} = sup {sup (a,b) , c} : asociatividad
sup (a , b) = sup (b ,a) : conmutatividad
sup {a , inf ( a, b)} = a : absorción
Los tres axiomas se cumplen de forma trivial para la operación sup(a,b) y puede demostrarse de igual modo que también ocurre así para la operación inf(a,b). Con todo ello queda demostrado lo que pretendíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás