| MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : ALGEBRA DE RETICULOS (VOLVER A LOS ENUNCIADOS) | |
| Demostrar
que el orden de un retículo define un conjunto ordenado en el cual
toda parte finita no vacía tiene un extremo inferior y un extremo
superior. Recíprocamente, si P es un conjunto ordenado que posee
esta propiedad, demostrar que las operaciones : RespuestaTomemos una parte finita no vacía de un retículo T. Si dos elementos de dicha parte están ordenados se cumplirá una de las dos condiciones siguientes: ![]() De ese modo, para todo conjunto de elementos ordenados podemos tomar un extremo superior y un extremos inferior. Veamos por otro lado si las operaciones dadas en (*) definen un retículo. Se deberán cumplir los axiomas correspondientes : asociatividad, conmutatividad, absorción. Si a, b, c son elementos de un conjunto ordenado, tendremos : sup(a,b,c) = sup {a , sup (b,c)} = sup {sup (a,b) , c} : asociatividadLos tres axiomas se cumplen de forma trivial para la operación sup(a,b) y puede demostrarse de igual modo que también ocurre así para la operación inf(a,b). Con todo ello queda demostrado lo que pretendíamos. |
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