Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 5

Tomemos una parte finita no vacía de un retículo T. Si dos elementos de dicha parte están ordenados se cumplirá una de las dos condiciones siguientes:

\( \begin{array}{c} a\leq b \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = a \quad \Rightarrow \; \textrm{(definicion)} \; a = Inf (a, b)\\ \\ b\leq a \quad \Rightarrow \quad a \wedge b = b \quad \Rightarrow \; \; \textrm{(definicion)} \; b = Inf (a, b) \end{array} \qquad (\ast) \)

De ese modo, para todo conjunto de elementos ordenados podemos tomar un extremo superior y un extremos inferior.
Veamos por otro lado si las operaciones dadas en (*) definen un retículo. Se deberán cumplir los axiomas correspondientes :
asociatividad, conmutatividad, absorción.
Si a, b, c son elementos de un conjunto ordenado, tendremos :

sup(a,b,c) = sup {a , sup (b,c)} = sup {sup (a,b) , c} : asociatividad
sup (a , b) = sup (b ,a) : conmutatividad
sup {a , inf ( a, b)} = a : absorción

Los tres axiomas se cumplen de forma trivial para la operación sup(a,b) y puede demostrarse de igual modo que también ocurre así para la operación inf(a,b). Con todo ello queda demostrado lo que pretendíamos.