Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 1
Suponiendo que las ecuaciones:
\( x = \varphi(u,v)\quad ; \quad y = \psi(u,v) \quad ; \quad z
= \phi(u,v) \)
Determinan a z, como función de x e y, hallar:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial
z}{\partial y} \)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 2
Comprobar que la función \( z = z(x,y)\) determinada por
la ecuación:
\( \displaystyle \phi\left(\frac{x-x_o}{z-z_o}, \frac{y-y_o}{z-z_o}\right)=
0 \)
Dónde \( \phi(u,v) \) es una función diferenciable,
satisface la expresión:
\( \displaystyle (x-x_o)·\frac{\partial z}{\partial x}
+ (y-y_o)·\frac{\partial z}{\partial y} = z - z_o \)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 3
Comprobar que la función implícita \( z = z(x,y)\)
determinada por la ecuación:
\( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la ecuación:
\( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2
z}{\partial x^2} - 2·\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial
z}{\partial y}·\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}
+ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2
z}{\partial y^2} = 0\)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 4
Hallar:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial
z}{\partial y}\)
Si:
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 5
Hallar el término:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \)
Sí se tiene:
\(F(x+y+z \; ;\; x^2+y^2 +z^2)\)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 6
Hallar la expresión:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 } \)
Sí sí tiene:
\( F(x·y\quad ,\quad y·z) = 0\)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 7
Sean:
\( x = x(y,z)\; ;\; y = y(x,z)\; ;\; z = z(x,y) \)
Funciones definidas por la ecuación:
Demostrar que se tiene:
\( \displaystyle \frac{\partial x}{\partial y}·\frac{\partial
y}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial x} = -1 \)
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Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 8
Hallar
Si se tiene:
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