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CAMBIO DE VARIABLES

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ejercicios resueltos

Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 1

Suponiendo que las ecuaciones:
    \( x = \varphi(u,v)\quad ; \quad y = \psi(u,v) \quad ; \quad z = \phi(u,v) \)
Determinan a z, como función de x e y, hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 2

Comprobar que la función \( z = z(x,y)\) determinada por la ecuación:
    \( \displaystyle \phi\left(\frac{x-x_o}{z-z_o}, \frac{y-y_o}{z-z_o}\right)= 0 \)
Dónde \( \phi(u,v) \) es una función diferenciable, satisface la expresión:
    \( \displaystyle (x-x_o)·\frac{\partial z}{\partial x} + (y-y_o)·\frac{\partial z}{\partial y} = z - z_o \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 3

Comprobar que la función implícita \( z = z(x,y)\) determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - 2·\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0\)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 4

Hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y}\)
Si:
    \( F(x-y , y-z , z-x)\)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 5

Hallar el término:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \)
Sí se tiene:
    \(F(x+y+z \; ;\; x^2+y^2 +z^2)\)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 6

Hallar la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 } \)
Sí sí tiene:
    \( F(x·y\quad ,\quad y·z) = 0\)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 7

Sean:
    \( x = x(y,z)\; ;\; y = y(x,z)\; ;\; z = z(x,y) \)
Funciones definidas por la ecuación:
    \( F(x,y,z) = 0\)
Demostrar que se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial x}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial x} = -1 \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 8

Hallar
    \( d^2 z\)
Si se tiene:
    \( F(x+z , y+z) \)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CAMBIO DE VARIABLE

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

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Página publicada por: José Antonio Hervás