PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS
ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de cambio de variables

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

Cambio de variable en derivadas parciales

Hallar la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 } \)
Sí sí tiene:
    \( F(x·y\quad ,\quad y·z) = 0\)
Respuesta al ejercicio 6
Hacemos el cambio:
    \( u = x·y \quad ; \quad v = y·z \)
Con lo que podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    du = \frac{\partial u}{\partial x}·dx + \frac{\partial u}{\partial y}·dy = y·dx + x·dy \\
     \\
    dv = \frac{\partial v}{\partial y}·dy + \frac{\partial v}{\partial z}·dz = z·dy + y·dz
    \end{array} \)
Considerando por otro lado la diferencial primera de \( F \):
    \( \begin{array}{l}
    dF = F'_u·du + F'_v·dv = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow F'_u(y·dx + x·dy) + F'_v(z·dy + y·dz) = 0
    \end{array}\)
Podemos obtener:
    \( \displaystyle dz = - \frac{F'_u}{F'_v}·dx - \frac{x·F'_u + z·F'_v}{y·F'_v}·dy \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}= - \frac{F'_u}{F'_v} \Rightarrow \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{\displaystyle \frac{\partial F'_u}{\partial x}·F'_v - \frac{ \partial F'_v}{\partial x}·F'_u}{(F'_v)^2}\qquad (A) \)
Para obtener la derivada segunda hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial F'_u}{\partial x} = \frac{\partial F'_u}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F'_u}{\partial v}·\frac{\partial u}{\partial x}= F^{\prime\prime}_{uu}·y + F^{\prime\prime}_{uv}· \frac{\partial z}{\partial x}·y\\
     \\
    \frac{\partial F'_v}{\partial x} = \frac{\partial F'_v}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F'_v}{\partial v}·\frac{\partial u}{\partial x}= F^{\prime\prime}_{vu}·y + F^{\prime\prime}_{vv}· \frac{\partial z}{\partial x}·y
    \end{array} \)
Y sustituyendo en (A):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= - \\
     \\
    - \frac{y\left( \displaystyle F^{\prime\prime}_{uu}+\frac{\partial z}{\partial x}·F^{\prime\prime}_{uv} \right)F'_v - y\left( \displaystyle F^{\prime\prime}_{vu}+\frac{\partial z}{\partial x}·F^{\prime\prime}_{vv} \right)F'_u}{(F'_v)^2} = \\
     \\
    = - \frac{y\left( \displaystyle F^{\prime\prime}_{uu}-\frac{F'_u·F^{\prime\prime}_{uv}}{F'_v} \right)F'_v - y\left( \displaystyle F^{\prime\prime}_{vu}-\frac{F'_uF^{\prime\prime}_{vv}}{F'_v} \right)F'_u}{(F'_v)^2} = \\
     \\
    = \frac{y\left[\left(F^{\prime\prime}_{vu}F'_v·F'_u- F'^2_u·F^{\prime\prime}_{vv}\right)-\left(F^{\prime\prime}_{uu}·F'^2_v - F'_uF'_vF^{\prime\prime}_{uv}\right)\right]}{(F'_v)^3} \\
     \\
    = \frac{y\left(2·F^{\prime\prime}_{vu}F'_v·F'_u- F'^2_u·F^{\prime\prime}_{vv}-F^{\prime\prime}_{uu}·F'^2_v \right)}{(F'_v)^3} \\
    
    \end{array} \)
Y el problema queda terminado.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




Página publicada por: José Antonio Hervás