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CAMBIO DE VARIABLES

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ejercicios resueltos

Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 17

Hallar
    \( d^2 z\)
Si se tiene:
    \( \displaystyle F\left(\frac{x}{z}\quad , \quad \frac{y}{z}\right) \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 18

Sean:
    \( x = f(u,v,w)\quad ;\quad y = g(u,v,w)\quad ;\quad z = h(u,v,w) \)
Hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial y}\quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial z} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 19

Pasar a las nuevas variables independientes \( u , v\) la nueva función \( w\) la expresión:
    \( \displaystyle y· \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2 \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{x} \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = \frac{x}{y}\quad ;\quad v = x\quad ;\quad w = x·z - y \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 20

La función:

    \( u = u(x)\)
Viene determinada sistema de ecuaciones:
    \( f(x,y,z) = u \quad ;\quad g(x,y,z)=0\quad ;\quad h(x,y,z)=0 \)
Calcular:
    \( \displaystyle \frac{du}{dx} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 21

Tomando \( u\quad y\quad v \) por nuevas variables independientes y \( w(u,v) \) por una nueva función, transformar la siguiente ecuación:
    \( \displaystyle \left(x·\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(y· \frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}=\frac{\partial z}{\partial x} · \frac{\partial z}{\partial y} · z^2 \)
Siendo:
    \( x = u·e^w \quad ; \quad y = v·e^w \quad ; \quad z = w·e^w \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 22

Introduciendo las nuevas variables que se indican, transformar la ecuación:
    \( x^4·y^{\prime\prime} + x·y·y' - 2·y^2 = 0\)
Siendo:
    \( x = e^t \quad ; \quad y = u·e^{2t} \)
Dónde:
    \( u = u(t)\)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 23

Comprobar que la función implícita:
    \( z = z(x,y)\)
Determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la expresión:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-2·\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + \\
     \\
    + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
    \end{array} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 24

Tomando \( u\quad \textrm{y} \quad v \) por nuevas variables independientes, transformar la siguiente ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^{2} x}{\partial z^{2}} \cdot x^{2}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \cdot y^{2}=0 \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = x·y \quad ; \quad v = \frac{x}{y} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 25

Comprobar que la función:
    \( z = z(x , y) \)
Dada por el sistema de ecuaciones:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    z = \alpha·x + \frac{y}{\alpha} = f(\alpha) \\
     \\
    0 = x - \frac{y}{\alpha^2} + f'(\alpha) \\ \\
    \end{array} \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}· \frac{\partial z}{\partial y} = 1 \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 26

Hallar la función \( u = f(x,y)\) sí se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 0 \)
Así mismo determinar la forma de la función \( u=f(x,y) \) satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } = 0 \)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CAMBIO DE VARIABLE

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Página publicada por: José Antonio Hervás