Cambio de
variable en derivadas parciales - enunciado 17
Hallar
Si se tiene:
\( \displaystyle F\left(\frac{x}{z}\quad , \quad \frac{y}{z}\right)
\)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 18
Sean:
\( x = f(u,v,w)\quad ;\quad y = g(u,v,w)\quad ;\quad z = h(u,v,w)
\)
Hallar:
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\quad ; \quad \frac{\partial
u}{\partial y}\quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial z} \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 19
Pasar a las nuevas variables independientes \( u , v\) la nueva
función \( w\) la expresión:
\( \displaystyle y· \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2
\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2}{x} \)
Siendo:
\( \displaystyle u = \frac{x}{y}\quad ;\quad v = x\quad ;\quad
w = x·z - y \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 20
La función:
Viene determinada sistema de ecuaciones:
\( f(x,y,z) = u \quad ;\quad g(x,y,z)=0\quad ;\quad h(x,y,z)=0
\)
Calcular:
\( \displaystyle \frac{du}{dx} \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 21
Tomando \( u\quad y\quad v \) por nuevas variables independientes
y \( w(u,v) \) por una nueva función, transformar la siguiente
ecuación:
\( \displaystyle \left(x·\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(y·
\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}=\frac{\partial z}{\partial
x} · \frac{\partial z}{\partial y} · z^2 \)
Siendo:
\( x = u·e^w \quad ; \quad y = v·e^w \quad ; \quad
z = w·e^w \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 22
Introduciendo las nuevas variables que se indican, transformar la
ecuación:
\( x^4·y^{\prime\prime} + x·y·y' - 2·y^2
= 0\)
Siendo:
\( x = e^t \quad ; \quad y = u·e^{2t} \)
Dónde:
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 23
Comprobar que la función implícita:
Determinada por la ecuación:
\( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la expresión:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 \frac{\partial^{2}
z}{\partial x^{2}}-2·\frac{\partial z}{\partial x} \cdot
\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial
x \partial y} + \\
\\
+ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} \frac{\partial^{2}
z}{\partial y^{2}}=0
\end{array} \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 24
Tomando \( u\quad \textrm{y} \quad v \) por nuevas variables independientes,
transformar la siguiente ecuación:
\( \displaystyle \frac{\partial^{2} x}{\partial z^{2}} \cdot x^{2}-\frac{\partial^{2}
z}{\partial y^{2}} \cdot y^{2}=0 \)
Siendo:
\( \displaystyle u = x·y \quad ; \quad v = \frac{x}{y}
\)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 25
Comprobar que la función:
Dada por el sistema de ecuaciones:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
z = \alpha·x + \frac{y}{\alpha} = f(\alpha) \\
\\
0 = x - \frac{y}{\alpha^2} + f'(\alpha) \\ \\
\end{array} \)
Satisface la ecuación:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}· \frac{\partial
z}{\partial y} = 1 \)
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Cambio de variable en derivadas
parciales - enunciado 26
Hallar la función \( u = f(x,y)\) sí se tiene:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =
0 \)
Así mismo determinar la forma de la función \( u=f(x,y)
\) satisface la ecuación:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } = 0 \)
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