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ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y}\)
Si:
    \( F(x-y , y-z , z-x)\)
Respuesta al ejercicio 4
Podemos hacer:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u = x-y \Rightarrow du = \frac{\partial u}{\partial x}·dx + \frac{\partial u}{\partial y}·dx = dx - dy \\
     \\
    v = y-z \Rightarrow du = \frac{\partial v}{\partial y}·dy + \frac{\partial v}{\partial z}·dz = dy - dz \\
     \\
    w = z-x \Rightarrow dw = \frac{\partial w}{\partial z}·dz + \frac{\partial w}{\partial x}·dx = dz - dx
    \end{array} \)
Con lo que la diferencial de \( F(x,y,z) = f(u,v,w) \): Valdrá:
    \( dF = f'_u·du + f'_v·dv + f'_w·dw = 0\)
Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:
    \( dF = f'_u·(dx-dy )+ f'_v·(dy-dz )+ f'_w·(dz-dx )= 0 \)
De la última expresión podemos despejar \( dz \) que resulta ser:
    \( \displaystyle dz = \frac{f'_w -f'_u}{f'_w - f'_v}·dx + \frac{f'_u -f'_v}{f'_w - f'_v}·dy \)
Con lo que podemos identificar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f'_w -f'_u}{f'_w - f'_v}\quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f'_u -f'_v}{f'_w - f'_v} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás