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CAMBIO DE VARIABLES

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ejercicios resueltos

Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 9

La función \( z = z(x,y)\) viene dada por la expresión:
    \( \displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = y·f\left(\frac{z}{y}\right) \)
Comprobar que se tiene:
    \( \displaystyle (x^2 - y^2 - z^2)·\frac{\partial z}{\partial x} + 2xy·\frac{\partial z}{\partial y} = 2·x·z \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 10

Comprobar que la función:
    \( z = z(x,y)\)
Definida por la ecuación:
    \( a·x + b·y + c·z = \phi(x^2 + y^2 + z^2) \)
Dónde \( \phi(u) \) es una función diferenciable arbitraria de la variable \( u \) y \( a,b,c \) son constantes, satisface:
    \( \displaystyle (c·y - b·z)\frac{\partial z}{\partial x} + (a·z - b·x)\frac{\partial z}{\partial y}= b·x - a·y \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 11

Transformar a coordenadas polares la ecuación:
    \( \displaystyle w =x·\frac{\partial u}{\partial x}+y·\frac{\partial u}{\partial y} \)
Haciendo:
    \( x = r·\cos \phi ; y = r·\sin \phi \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 12

Tomando \( u \quad y\quad v \) nuevas variables independiente transformar la ecuación:
    \( \displaystyle x^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - (x^{2}+ y^2)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+ y^2\frac{\partial z}{\partial y^2}=0
    \)
Siendo:
    \( \displaystyle u = x+y \quad; \quad v = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 13

Hallar el valor de la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \)
en el punto \( u= 2\; ,\; v=1 \) sí se tiene:
    \( x=u+v^2\quad ;\quad y = u^2 - v^3 \quad ;\quad z = 2·uv \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 14

Tomando \( u , v\) como nuevas variables independientes transformar la ecuación:
    \( \displaystyle ax^2·\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + 2b·xy·\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + cy^2·\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0 \)
Si
    \( u = \ln x \quad ; \quad v = \ln y \)
Dónde \( a \;,\; b\quad y\quad c \) son constantes arbitrarias.
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 15

Pasar a las nuevas variables independientes \( u\quad y\quad v\) y a la nueva función \( w\), la ecuación:
    \( \displaystyle (1-x^2)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + (1-y^2)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= x·\frac{\partial z}{\partial x} + y·\frac{\partial z}{\partial y}
    \)
Siendo:
    \( x = \sin u \quad ; \quad y = \sin v \quad ;\quad z = e^w \)
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Cambio de variable en derivadas parciales - enunciado 16

Pasar a las nuevas variables independientes \( u\; ,\; v \) y a la nueva función \( w \) la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - 2·\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + \left(1 + \frac{x}{y}\right) \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0 \)
Dónde:
    \( u = x \quad ;\quad v = x+y\quad ; \quad w = x+y+z \)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CAMBIO DE VARIABLE

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Página publicada por: José Antonio Hervás