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ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Hallar el término:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \)
Sí se tiene:
    \(F(x+y+z \; ;\; x^2+y^2 +z^2)\)

Respuesta al ejercicio 5
Tomamos las nuevas variables \( u \quad y\quad v \) en la forma:
    \( u = x+y+z \quad ; \quad v = x^2 + y^2 + z^2 \)
Con lo que podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz = dx+dy+dz \\
     \\
    dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy + \frac{\partial v}{\partial z}dz = 2xdx+2ydy+2zdz
    \end{array} \)
Por otro lado tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dF = F'_u·du + F'_v·dv = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow F'_u(dx+dy+dz) + F'_v(2x·dx+2y·dy+2z·dz)= 0
    \end{array} \)
De esta expresión podemos despejar \( dz \):
    \( \displaystyle dz = - \frac{F'_u + 2x·F'_v}{F'_u+2z·F'_v}·dx - \frac{F'_u + 2y·F'_v}{F'_u+2z·F'_v}·dy \)
Con lo que podemos identificar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}= - \frac{F'_u + 2x·F'_v}{F'_u+2z·F'_v}\qquad (A) \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás