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ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Sean:
    \( x = x(y,z)\; ;\; y = y(x,z)\; ;\; z = z(x,y) \)
Funciones definidas por la ecuación:
    \( F(x,y,z) = 0\)
Demostrar que se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial x}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial x} = -1 \)
Respuesta al ejercicio 7
Consideramos la diferencial de la función \( F \):
    \( \displaystyle dF = \frac{\partial F}{\partial x}·dx + \frac{\partial F}{\partial y}·dy + \frac{\partial F}{\partial z}·dz = 0\)
De dónde podemos obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dx = - \frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial x}·dy - \frac{\partial F/\partial z}{\partial F/\partial y}·dz = \\
     \\
    = \frac{\partial x}{\partial y}dy + \frac{\partial x}{\partial z}dz\;;\; \frac{\partial x}{\partial y} = - \frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial x} \\
     \\
    dy = - \frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}·dx - \frac{\partial F/\partial z}{\partial F/\partial y}·dz = \\
     \\
    = \frac{\partial y}{\partial x}dx + \frac{\partial y}{\partial z}dz\;;\; \frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{\partial F/\partial z}{\partial F/\partial y}\\
     \\
    dz = - \frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}·dx - \frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}·dy = \\
     \\
    \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy\;;\; \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}
    \end{array} \)
Si operamos según el enunciado resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial x}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial x} = \left(- \frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial x} \right)\left(- \frac{\partial F/\partial z}{\partial F/\partial y} \right)\left(- \frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z} \right)= \\
     \\
    = \frac{(\partial F/\partial y )(\partial F/\partial z )(\partial F/\partial x )}{(\partial F/\partial x )(\partial F/\partial y )(\partial F/\partial z )}= -1
    \end{array}\)
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Página publicada por: José Antonio Hervás