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ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Hallar
    \( d^2 z\)
Si se tiene:
    \( F(x+z , y+z) \)
Respuesta al ejercicio 8
En este caso podemos hacer:
    \( x+z = u \quad ; \quad y+z = v \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial z}dz = dx + dz \\  \\
    dv = \frac{\partial v}{\partial y}dy + \frac{\partial v}{\partial z}dz = dy + dz \end{array}\)
Y por tanto:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dF = \frac{\partial F}{\partial u}du + \frac{\partial F}{\partial v}dv = \\
     \\
    = \frac{\partial F}{\partial u}(dx+dz) + \frac{\partial F}{\partial v}(dy+dz) = 0
    \end{array}\)
Con lo que podemos obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left( \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial F}{\partial v} \right)dz = - \frac{\partial F}{\partial u}·dx - \frac{\partial F}{\partial v}dy \;; \\
     \\
    dz = - \frac{F'_u}{F'_u + F'_v}·dx - \frac{F'_v}{F'_u + F'_v}·dy
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás