PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Comprobar que la función implícita \( z = z(x,y)\) determinada por la ecuación:
    \( y = x·\varphi(z) + \psi(z) \)
Satisface la ecuación:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - 2·\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0\)
Respuesta al ejercicio 3
Para obtener las expresiones necesarias diferenciamos la función y:
    \( \displaystyle dy = \frac{\partial y}{\partial x}dx + \frac{\partial y}{\partial z}dz = \varphi(z)·dx + \left[x·\varphi'(z)+\psi'(z)\right]dz \)
De dónde podemos obtener:
    \( \displaystyle dz = \frac{\varphi(z)}{x·\varphi'(z) + \psi'(z)}dx + \frac{1}{x·\varphi'(z) + \psi'(z)}dy \)
Recordando que se tiene:
    \( \displaystyle dz = \frac{\partial z}{\partial x}·dx + \frac{\partial z}{\partial y}·dy \)
Por tanto:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\varphi(z)}{x\varphi'(z) + \psi'(z)}\quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x\varphi'(z) + \psi'(z)} \)
Podemos ahora calcular las derivadas de segundo orden:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\varphi'(\partial z/\partial x)(x\varphi'+\psi') - [\varphi' + x\varphi^{\prime\prime}(\partial z/\partial x)+\psi^{\prime\prime}(\partial z/\partial x)]\varphi}{(x·\varphi' + \psi')^2} \)
Sustituyendo \((\partial z/\partial x) \) por su valor:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2·\varphi·\varphi'^2·x + 2·\varphi'·\psi'·\varphi - x·\varphi^2\varphi^{\prime\prime}- \varphi^2\psi^{\prime\prime}}{(x·\varphi' + \psi')^3} \)
De igual forma calculamos:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \)
Para obtener:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{-[x·\varphi^{\prime\prime}(\partial z/\partial y)+\psi^{\prime\prime}(\partial z/\partial y) ]}{(x·\varphi' + \psi')^2}= - \frac{x·\varphi^{\prime\prime} + \psi^{\prime\prime} }{(x·\varphi' + \psi')^3} \)
Y por último:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{x·\varphi^{\prime\prime}\varphi + \psi^{\prime\prime}\varphi - x·\varphi'^2 - \varphi' \psi'}{(x·\varphi' + \psi')^3} \)
Y sumando de la forma expresada en el enunciado llegamos al resultado pedido.
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Página publicada por: José Antonio Hervás