PROBLEMAS RESUELTOS
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MATEMÁTICAS
ejercicios de cambio de variables en derivadas parciales

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Cambio de variable en derivadas parciales

Suponiendo que las ecuaciones:
    \( x = \varphi(u,v)\quad ; \quad y = \psi(u,v) \quad ; \quad z = \phi(u,v) \)
Determinan a z, como función de x e y, hallar:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial y} \)
Respuesta al ejercicio 1
Derivando z respecto de x obtenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial \phi}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial x} \)
Para conocer los valores de:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial v}{\partial x} \)
consideramos las dos primeras ecuaciones del enunciado y derivamos respecto a x:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    x = \varphi(u,v) \Rightarrow \quad 1 = \frac{\partial \varphi}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial x} \\
     \\
    y = \psi(u,v) \Rightarrow \quad 0 = \frac{\partial \psi}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial x}
    \end{array} \)
Tenemos de esta forma un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con lo que, aplicando la regla de Cramer tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\left|
    \begin{array}{cc}
    1 & \varphi'_v \\
    0 & \psi'_v \\
    \end{array}
    \right|}{\left|
    \begin{array}{cc}
    \varphi'_u & \varphi'_v \\
    \psi'_u & \psi'_v \\
    \end{array}
    \right|} = \frac{\psi'_v}{j}\quad ; \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\psi'_u}{j} \)
Donde:
    \( \displaystyle j = \left|
    \begin{array}{cc}
    \varphi'_u & \varphi'_v \\
    \psi'_u & \psi'_v \\
    \end{array}
    \right| \)
Con todo ello resulta:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial \phi}{\partial u} \frac{\psi'_v}{j} + \frac{\partial \phi}{\partial v}\left(- \frac{\psi'_v}{j}\right)= \phi'_u\frac{\psi'_v}{j} - \phi'_v\frac{\psi'_u}{j} \)
Para obtener \( (\partial z/\partial y) \) se desarrolla de forma semejante con lo que se llega a la expresión:
    \( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \phi'_u·\frac{\varphi'_v}{j} + \phi'_v·\frac{\varphi'_u}{j} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás