Cambio de variable en derivadas parciales
Suponiendo que las ecuaciones:
\( x = \varphi(u,v)\quad ; \quad y = \psi(u,v) \quad ; \quad z
= \phi(u,v) \)
Determinan a z, como función de x e y, hallar:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial
z}{\partial y} \)
Respuesta al ejercicio 1
Derivando z respecto de x obtenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial
\phi}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial
\phi}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial x} \)
Para conocer los valores de:
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \quad ; \quad \frac{\partial
v}{\partial x} \)
consideramos las dos primeras ecuaciones del enunciado y derivamos
respecto a x:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
x = \varphi(u,v) \Rightarrow \quad 1 = \frac{\partial \varphi}{\partial
u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial
v}·\frac{\partial v}{\partial x} \\
\\
y = \psi(u,v) \Rightarrow \quad 0 = \frac{\partial \psi}{\partial
u}·\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial
v}·\frac{\partial v}{\partial x}
\end{array} \)
Tenemos de esta forma un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
con lo que, aplicando la regla de Cramer tenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\left|
\begin{array}{cc}
1 & \varphi'_v \\
0 & \psi'_v \\
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{cc}
\varphi'_u & \varphi'_v \\
\psi'_u & \psi'_v \\
\end{array}
\right|} = \frac{\psi'_v}{j}\quad ; \quad \frac{\partial v}{\partial
x} = -\frac{\psi'_u}{j} \)
Donde:
\( \displaystyle j = \left|
\begin{array}{cc}
\varphi'_u & \varphi'_v \\
\psi'_u & \psi'_v \\
\end{array}
\right| \)
Con todo ello resulta:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial
\phi}{\partial u} \frac{\psi'_v}{j} + \frac{\partial \phi}{\partial
v}\left(- \frac{\psi'_v}{j}\right)= \phi'_u\frac{\psi'_v}{j} -
\phi'_v\frac{\psi'_u}{j} \)
Para obtener \( (\partial z/\partial y) \) se desarrolla de forma
semejante con lo que se llega a la expresión:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \phi'_u·\frac{\varphi'_v}{j}
+ \phi'_v·\frac{\varphi'_u}{j} \)