PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

ALGEBRA SUPERIOR FORMAS BILINEALES

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ejercicios resueltos

Ejercicios de álgebra - enunciado 51

Demostrar que un operador:
    \( A\: :\: V \rightarrow V \)
Tiene una representación como matriz diagonal si y solo si su polinomio mínimo, m(t), es un producto de polinomios lineales diferentes
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Ejercicios de álgebra- enunciado 52

Cuáles son los valores propios del endomorfismo f de \( R^3 \) cuya matriz en la base canónica es :
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 0 \\
    -4 & -1 & 0 \\
    4 & -8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Determinar además si la matriz A es diagonalizable y demostrar que es semejante a una matriz triangular.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 53

Encontrar la forma canónica de Jordán y una base de Jordán:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 0 \\
    -4 & -1 & 0 \\
    4 & -8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Vista en el problema anterior.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 54

Determinar los valores propios de la matriz :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    8 & -1 & -5 \\
    -2 & 3 & 1 \\
    4 & -1 & -1 \\
    \end{array}
    \right) \)
Determinar además una base tal que la matriz transformada de a sea triangular y calcular dicha matriz.
Dar la forma de Jordán y una base de Jordán.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 55

Sí \( M_0 \) la forma de Jordán de la matriz dada en el problema anterior, calcular \( M_0^n \). Indicar, si hacer operaciones cómo podría calcularse, \( A^n \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 56

Cuáles son los valores propios del endomorfismo f de \( R^3 \) cuya matriz respecto a la base canónica \( R^3 \) es :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & a & a \\
    -1 & 1 & -1 \\
    1 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\quad , donde \;a \in R \)
¿ es \( B_a \) diagonalizable?
Demostrar que \( B_a \) es semejante a una matriz triangular y encontrar la forma de reducida de Jordán.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 57

Se designa por \( \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \) la base canónica de \( R^4 \) y se considera el endomorfismo u de \( R^4 \;en \; R^4 \) definido por :
    \( \begin{array}{l}
    u(e_1) = e_1+e_3+e_4 \\
     \\
    u(e_2) = -e_1-e_3-e_4 \\
     \\
    u(e_3) = 2e_1+e_2+e_3+e_4 \\
     \\
    u(e_4) = -2e_1-e_2
    \end{array} \)
calcular el polinomio característico de u y demostrar que \( \lambda_1= 0\; y \; \lambda_2= 1\) son sus raíces.
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Ejercicios de álgebra - enunciado 58

Tomando como referencia la matriz obtenida en el problema anterior, demostrar que existen dos subespacios suplementarios \( E_1 \; y \; E_2 \) de \( R^4 \) invariantes para u y tales que \( (u-\lambda_i)E_i \) sea nilpotente para i = 1, 2.
Sea \( u_i \) la restricción de u a \( E_i \) (i = 1, 2); determinar una base de \( u_i \) tal que la matriz \( u_i \) respecto a esa base se ponga en la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\; para\; i=1\quad ; \quad \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 1 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\; para\; i=2 \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 59

Determinar las posibles formas reducidas deJordán para las matrices que tienen los siguientes polinomios característicos y mínimos :
    \( \begin{array}{l}
    P(t) = (t-2)^7\qquad ; \qquad m(t) = (t-2)^3 \\
     \\
    P(t) = (t-3)^4(t-5)^4\; ; \; m(t) = (t-3)^2(t-5)^2
    \end{array} \)
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Ejercicios de álgebra - enunciado 60

Sabemos que la matriz :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    a & 1 & p \\
    b & 2 & q \\
    c & -1 & r \\
    \end{array}
    \right) \)
Admite como vectores propios :
    \( (1,1,0), (-1,0,2) \:y\: (0,1,-1)\)
Hallar los elementos de dicha matriz así como sus autovalores
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICIAL

 


Página publicada por: José Antonio Hervás