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Ejercicios de álgebra

Cuáles son los valores propios del endomorfismo f de \( R^3 \) cuya matriz en la base canónica es :
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 0 \\
    -4 & -1 & 0 \\
    4 & -8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Determinar además si la matriz A es diagonalizable y demostrar que es semejante a una matriz triangular.

Respuesta al ejercicio 52
En primer lugar calculamos los valores propios de la matriz :
    \(\begin{array}{l}
    |A - \lambda I|=(3-\lambda)(1+\lambda)(2+\lambda) + 4(2+\lambda) = 0 \\
     \\
    (2+\lambda)(\lambda-1)^2 = 0
    \end{array} \)
Tenemos según eso que los valores propios son :
    \(\lambda_1 = -2 , k_1 = 1 \quad ; \quad \lambda_2 = 1 , k_2 = 2 \)
Para que la matriz sea diagonalizable se hace cumplir :
    \( Dim \:V(\lambda_1) = 1 = k_1\quad ; \quad Dim \:V(\lambda_2) = 2 = k_2 \)
Para el primer caso no tenemos problema puesto que la multiplicidad es 1.
Analizamos el segundo caso :
    \( \lambda_2= 1 \Rightarrow |A- I| = \left|
    \begin{array}{ccc}
    2 & 1 & 0 \\
    -4 & -2 & 0 \\
    4 & -8 & -3 \\
    \end{array}
    \right|= 0 \Rightarrow r(A) = 2 \)
Puesto que el rango de la matriz en este caso es 2, podemos decir que \( Dim V(1) = 1\neq k_2 \) y la matriz no será diagonalizable.
Para demostrar que la matriz A es semejante a una matriz triangular debemos encontrar una base \( B = \{v_1,v_2,v_3\} \) para la que se cumpla :
    \( v_1 \in V(-2) \: ;\: v_2 \in V(1) \; y\; v_3 \)
Independientemente de los otros dos. Tenemos entonces :
    \( \lambda_1 = 2 \Rightarrow \left(
    \begin{array}{ccc}
    5 & 1 & 0 \\
    -4 & 1 & 0 \\
    4 & -8 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right) = 0\left\{
    \begin{array}{l}
    5x+y=0 \\
     \\
    4x-8y=0 \\
    \end{array}
    \right.\left|
    \begin{array}{c}
    x=0 \\
     \\
    y=0 \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Y podemos elegir como primer vector el \( v_1 = (0,0,1) \) :
    \( \displaystyle \lambda_2 = 1 \Rightarrow \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & 1 & 0 \\
    -4 & -2 & 0 \\
    4 & -8 & -3 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right) = 0\left\{
    \begin{array}{l}
    4x+2y=0 \\
     \\
    4x-8y-3z=0 \\
    \end{array}
    \right.\left|
    \begin{array}{c}
    z=-\frac{10}{3}y \\
     \\
    x=-\frac{1}{2}y \\
    \end{array}
    \right. \)
De dónde es segundo vector podrá ser \( v_2 = (1,-2,20/3) \)
El vector \( v_3 \) has de ser linealmente independiente de los dos anteriores. Considerando por ejemplo, vector (0,1,0) tenemos :
    \( \displaystyle \left(
    \begin{array}{ccc}
    0 & 0 & 1 \\
    0 & 1 & 0 \\
    1 & -2 & \frac{20}{3} \\
    \end{array}
    \right) = -1 \neq 0 \)
Puesto que el vector considerado es independiente de los otros dos podemos decir que el conjunto :
    \( \displaystyle B = \{(0,0,1) , \left(1, -2, \frac{20}{3}\right), (0,1,0)\} \)
Es una base de \( R^3 \)
La matriz triangular que hemos de considerar será de la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    -2 & 0 & a_{13} \\
    0 & 1 & a_{23} \\
    0 & 0 & a_{33} \\
    \end{array}
    \right) \)
Para determinar los elementos desconocidos de esta matriz hemos de considerar que se cumple :
    \( \begin{array}{l}
    Av_1 = \lambda_1v_1 = -2v_1 \\
     \\
    Av_2 = \lambda_2v_2 = v_2 \\
     \\
    Av_3 = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3
    \end{array} \)
Podemos poner según eso :
    \( \displaystyle \left(
    \begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 0 \\
    -4 & -1 & 0 \\
    4 & -8 & -2 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    -1 \\
    -8 \\
    \end{array}
    \right) = a_{13}\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right) + a_{23}\left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    -2 \\
    \frac{20}{3} \\
    \end{array}
    \right) + a_{33}\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right)\)
Con lo que obtenemos :
    \( \displaystyle \left\{
    \begin{array}{l}
    1 = a_{23} \\
     \\
    -1 = a_{33}-2a_{23} \\
     \\
    -8 = a_{13}+ \frac{20}{3}a_{23} \\
    \end{array}
    \right.\qquad \left\{
    \begin{array}{c}
    a_{23} = 1 \\
     \\
    a_{33} = 1 \\
     \\
    a_{13} = - \frac{44}{3} \\
    \end{array}
    \right. \)
Con lo que la matriz triangular será:
    \( \displaystyle B' = \left(
    \begin{array}{ccc}
    -2 & 0 & -\frac{44}{3} \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás