PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Cuáles son los valores propios del endomorfismo f de \( R^3 \) cuya matriz respecto a la base canónica \( R^3 \) es :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & a & a \\
    -1 & 1 & -1 \\
    1 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\quad , donde \;a \in R \)
¿ es \( B_a \) diagonalizable?
Demostrar que \( B_a \) es semejante a una matriz triangular y encontrar la forma de reducida de Jordán.

Respuesta al ejercicio 56
Para encontrar los valores propios de \( B_a \) formamos el polinomio característico :
    \( |B_a - \lambda I| = (1-\lambda)^2(2-\lambda) = 0 \)
Podemos observar que los valores propios de la matriz son independientes de a y cumplen :
    \( \lambda_1= 1 , k_1 = 2 \quad ; \quad \lambda_2= 2 , k_2 = 1 \)
Para ver si la matriz es diagonalizable analicemos el valor propio 1 :
    \( (B_a I) = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & a & a \\
    -1 & 0 & -1 \\
    1 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\quad \left\{
    \begin{array}{c}
    si \: a = 0 \Rightarrow r(B_a - I) = 1 \\
     \\
    si \: a \neq 0 \Rightarrow r(B_a - I) = 2 \\
    \end{array}
    \right. \)
Podemos decir entonces que en el primer caso la matriz es diagonalizable por cumplirse \( V(1) = 2 = k_1 \) ; y en el segundo caso no lo es.
Para demostrar que la matriz es semejante en todos los casos a una matriz triangular nos basta con encontrar la forma reducida de Jordán de la matriz dada.
En el caso de que la matriz sea diagonalizable (a = 0) la forma reducida de Jordan es diagonal :
    \( J_1 = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Cuando la matriz no es diagonalizable (\( a\neq 0\)) tenemos :
    \( m(t) = (1-\lambda)^2(2-\lambda)\left\{
    \begin{array}{l}
    \lambda_1= 1 \,,\, k_1 = 2 \:,\: \beta_1=2 \Rightarrow n_{11}= 2 \\
     \\
    \lambda_2= 2 \, ,\, k_2 = 1\:,\: \beta_2=1 \Rightarrow n_{21}= 1 \\
    \end{array}
    \right.\)
Y la forma reducida de Jordán será :
    \( J_2 = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1& 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    \end{array}
    \right) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA SUPERIOR - FORMAS BILINEALES - MATRICES Y FORMAS DE JORDÁN
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Página publicada por: José Antonio Hervás