PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que un operador:
    \( A\: :\: V \rightarrow V \)
Tiene una representación como matriz diagonal si y solo si su polinomio mínimo, m(t), es un producto de polinomios lineales diferentes

Respuesta al ejercicio 51
Condición necesaria.- si la matriz A es diagonal, entonces existe una base \( \{v_1, ... v_p\} \) de vectores propios de la operador. Sean \( \lambda_1,...,\lambda_p \) los valores propios asociados a dichos vectores propios. El polinomio característico de la matriz será :
    \( P(t) = (t-\lambda_1)...(t-\lambda_p) \)
Por consiguiente se cumplirá :
    \(P(A) = (A - \lambda_1I)...(A - \lambda_pI)\quad; \quad P(A)(v_i) = 0 \:\forall \: i \Rightarrow m(t) \;/\; P(t) \)
Y puesto que P(t) solo contiene factores lineales diferentes igual ocurrirá con m(t).
Condición suficiente.- sea :
    \( m(t) = (t-\lambda_1)...(t-\lambda_r) \)
Dónde los \( \lambda_i \) son distintos entre sí y se verifica M(A) = 0
En teoría, se ha demostrado que si se tiene :
    \( m(t) = (t-\lambda_1)^{m_1}...(t-\lambda_r)^{m_r}\; ; \; f(A) = 0 \)
Entonces el espacio total,V, es suma directa de los subespacios :
    \( Ker (A - \lambda_i I)^{m_i} \)
Es decir :
    \( V = Ker (A - \lambda_1 I)^{m_1}\oplus ...\oplus Ker \:(A - \lambda_r I)^{m_r}\quad (1\leq i \leq r) \)
Sea \( B_i \) una base para cada uno de dichos subespacio. Se verificará :
    \( Ker(A - \lambda_i I)= \{v / (A - \lambda_i I)v = 0 \} = \{v / Av = \lambda_iv\} \)
Con lo que cada base \( B_i \) será entonces de vectores propios de V asociados a los valores propios \( \lambda_i \).
Con todo ello podemos decir que \( \cup B_i \) será una base de V que estará formada por vectores propios y, por consiguiente, la matriz A será diagonalizable.
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Página publicada por: José Antonio Hervás