PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
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Ejercicios de álgebra

Tomando como referencia la matriz obtenida en el problema anterior, demostrar que existen dos subespacios suplementarios \( E_1 \; y \; E_2 \) de \( R^4 \) invariantes para u y tales que \( (u-\lambda_i)E_i \) sea nilpotente para i = 1, 2.
Sea \( u_i \) la restricción de u a \( E_i \) (i = 1, 2); determinar una base de \( u_i \) tal que la matriz \( u_i \) respecto a esa base se ponga en la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\; para\; i=1\quad ; \quad \left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 1 \\
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\; para\; i=2 \)
Respuesta al ejercicio 58
Hemos de demostrar que existen dos subespacios suplementarios invariantes para u y tales que \( (u-\lambda_iI) \) sea nilpotente para \( E_i \). Considerando esto, recordar, por teoría, que en general se cumple :
    \( \begin{array}{l}
    \left.
    \begin{array}{l}
    f(t) = (t-\alpha_1)^{m_1}...(t-\alpha_r)^{m_r} \\
     \\
    f(A)= 0 \\
    \end{array}
    \right\}\quad V = \\
     \\
    V = Ker (A - \alpha_1I)^{m_1}\oplus ...\oplus Ker (A - \alpha_rI)^{m_r}
    \end{array} \)
Y cada uno de los subespacios \( Ker(A-\alpha_i I)^{m_i} \) es A-invariante.
En nuestro caso tenemos :
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    P(t) = t^2(t-1)^2 \\
     \\
    P(u) = 0 \\
    \end{array}
    \right\}\:V = Ker(u)^2 \oplus Ker(u-I)^2\left\{
    \begin{array}{l}
    E_1= Ker(u)^2 \\
     \\
    E_2 = Ker(u-I)^2 \\
    \end{array}
    \right. \)
Se puede comprobar que \( (u-\lambda_iI) \) es nilpotente para \( E_i \) con solo recordar la definición de endomorfismo nilpotente:
    \(\begin{array}{l}
    (u - \lambda_i I) \textrm{ nilpotente sobre } E_i \Rightarrow \\
     \\
    (u - \lambda_i I)^n = 0 \textrm{ sobre } E_i \Rightarrow E_i = Ker (u-\lambda_i I)
    \end{array} \)
Para la última cuestión tenemos que \( u_i \) es la restricción de u \( E_i \) y hemos de determinar una base de \( u_i \) tal que la matriz \( u_i \) respecto a dicha base tome la forma especificada en el enunciado.
En la anterior cuestión hemos visto que se tenía :
    \( V = E_1 \oplus E_2 \)
Esto significa que se cumple :
    \( B_1\cup B_2 = B \textrm{ donde } B_i \textrm{ es una base de } E_i \)
Podemos decir entonces que la matriz del endomorfismo será diagonal con bloques y tendrá la forma :
    \( \left(
    \begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\
    a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
    0 & 0 & a_{43} & a_{44} \\
    \end{array}
    \right)\Rightarrow \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
Por consiguiente, la base que hemos de considerar es una base de Jordán puesto que se cumple:
Para \( \lambda = 0\) :
    \( \begin{array}{l}
    A_o = \left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & -1 & 2 & -2 \\
    0 & 0 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 1 & 0 \\
    1 & -1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left|
    \begin{array}{ccc}
    -1 & 2 & -2 \\
    0 & 1 & -1 \\
    -1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right| = -1 \\
     \\
    r(A_o) = 3 \, ;\, Dim V(0)= 1
    \end{array} \)
Para \( \lambda = 1\) :
    \( \begin{array}{l}
    A_1 = \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & -1 & 2 & -2 \\
    0 & -1 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 0 & 0 \\
    1 & -1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left|
    \begin{array}{ccc}
    0 & -1 & 2 \\
    0 & -1 & 1 \\
    1 & -1 & 0 \\
    \end{array}
    \right| = 1 \\
     \\
    r(A_1) = 3 \, ;\, Dim V(1)= 1
    \end{array} \)
Sí comprueba por otro lado que el polinomio mínimo de u es \( \lambda^2(1-\lambda)^2 \) y por consiguiente podemos poner :
    \( J_1 = \left(
    \begin{array}{cccc}
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
y queda demostrado que la matriz del endomorfismo en la base de es la matriz de la forma reducida de Jordán.
Para encontrar la base búsqueda hemos de considerar cuatro vectores que cumplan :
    \( \begin{array}{l}
    Av_1 = 0 \\
     \\
    Av_2 = v_2 \\
     \\
    Av_3 = v_3 \\
     \\
    Av_4 = v_3 + v_4
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás