PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
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Ejercicios de álgebra

Se designa por \( \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \) la base canónica de \( R^4 \) y se considera el endomorfismo u de \( R^4 \;en \; R^4 \) definido por :
    \( \begin{array}{l}
    u(e_1) = e_1+e_3+e_4 \\
     \\
    u(e_2) = -e_1-e_3-e_4 \\
     \\
    u(e_3) = 2e_1+e_2+e_3+e_4 \\
     \\
    u(e_4) = -2e_1-e_2
    \end{array} \)
calcular el polinomio característico de u y demostrar que \( \lambda_1= 0\; y \; \lambda_2= 1\) son sus raíces.

Respuesta al ejercicio 57
Podemos deducir inmediatamente que la matriz del endomorfismo vendrá dada por los transformados de los vectores de la base puestos en columna :
    \( A = \left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & -1 & 2 & -2 \\
    0 & 0 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 1 & 0 \\
    1 & -1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \)
Y para el calcular el polinomio característico tenemos :
    \( |A- \lambda I| = \left|
    \begin{array}{cccc}
    1-\lambda & -1 & 2 & -2 \\
    0 & -\lambda & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 1-\lambda & 0 \\
    1 & -1 & 1 & -\lambda \\
    \end{array}
    \right| \)
Y desarrollando por la primera columna :
    \( (1-\lambda) \left|
    \begin{array}{ccc}
    -\lambda & 1 & -1 \\
    -1 & 1-\lambda & 0 \\
    -1 & 1 & -\lambda \\
    \end{array}
    \right| + \left|
    \begin{array}{ccc}
    -1 & 2 & -2 \\
    -\lambda & 1 & -1 \\
    -1 & 1 & -\lambda \\
    \end{array}
    \right| - \left|
    \begin{array}{ccc}
    -1 & 2 & -2 \\
    -\lambda & 1 & -1 \\
    -1 & 1-\lambda & 0 \\
    \end{array}
    \right| = \lambda^2(1-\lambda)^2 \)
Con lo que podemos observar que los valores propios del polinomio característico son :
    \( \lambda_1= 0 , k_1 = 2 \quad ; \quad \lambda_2= 1 , k_2 = 2 \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás