PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sí \( M_0 \) la forma de Jordán de la matriz dada en el problema anterior, calcular \( M_0^n \). Indicar, si hacer operaciones cómo podría calcularse, \( A^n \)

Respuesta al ejercicio 55
Siendo \( M_0 \) la forma reducida de Jordán determinada en el problema anterior, calculamos ahora \( M_0^n\) y lo hacemos por inducción :
    \( M_o = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & 0 & 0 \\
    0 & 4 & 1 \\
    0 & 0 & 4 \\
    \end{array}
    \right) \:;\: M^2_o = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2^2 & 0 & 0 \\
    0 & 4^2 & 8 \\
    0 & 0 & 4^2 \\
    \end{array}
    \right) \:;\: M^3_o = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2^3 & 0 & 0 \\
    0 & 4^3 & 48 \\
    0 & 0 & 4^3 \\
    \end{array}
    \right) \)
Podemos observar que para el elemento \(a_{23} \) se cumple :
    \( 8 = 2\times 4 \: ;\: 48 = 3\times 4^2 \Rightarrow a_{23} = n \times 4^{n-1} \)
Con lo que podemos poner :
    \( \begin{array}{l}
    M_o^{n-1} = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2^{n-1} & 0 & 0 \\
    0 & 4^{n-1} & (n-1)4^{n-2} \\
    0 & 0 & 4^{n-1} \\
    \end{array}
    \right) \\
     \\
    M_o^n = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & 0 & 0 \\
    0 & 4 & 1 \\
    0 & 0 & 4 \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{ccc}
    2^{n-1} & 0 & 0 \\
    0 & 4^{n-1} & (n-1)4^{n-2} \\
    0 & 0 & 4^{n-1} \\
    \end{array}
    \right) =\\
     \\= \left(
    \begin{array}{ccc}
    2^n & 0 & 0 \\
    0 & 4^n & n4^{n-1} \\
    0 & 0 & 4^n \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array}\)
Sabemos que la matriz \( M_o \) es semejante a la matriz A, por lo tanto, existe una matriz, P, de paso que verifica :
    \( \begin{array}{l}
    P^{\,-1}AP = M_o \Rightarrow M_o^n = (P^{\,-1}AP).\underbrace{n}.(P^{\,-1}AP) = \\
     \\
    = P^{\,-1}A^n P \Rightarrow A^n = P·M_o^nP^{\,-1}
    \end{array} \)
Esta matriz P estará formada por los vectores de la base de Jordán puestos en columna, es decir :
    \( \displaystyle P = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & \frac{1}{3} \\
    1 & -1 & - \frac{1}{3} \\
    1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \)
Y así :
    \( \displaystyle A^n = \left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & \frac{1}{3} \\
    1 & -1 & - \frac{1}{3} \\
    1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    2^n & 0 & 0 \\
    0 & 4^n & n4^{n-1} \\
    0 & 0 & 4^n \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{ccc}
    1 & 1 & \frac{1}{3} \\
    1 & -1 & - \frac{1}{3} \\
    1 & 1 & 0 \\
    \end{array}
    \right)^{-1} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás