PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Encontrar la forma canónica de Jordán y una base de Jordán:
    \( A = \left(
    \begin{array}{ccc}
    3 & 1 & 0 \\
    -4 & -1 & 0 \\
    4 & -8 & -2 \\
    \end{array}
    \right) \)
Vista en el problema anterior.

Respuesta al ejercicio 53
Para encontrar la forma de Jordán hemos de encontrar primero el polinomio mínimo. En el problema anterior hemos visto que la matriz no es diagonalizable, el polinomio mínimo no será producto de polinomios lineales y tendrá necesariamente la forma, vista en el problema anterior :
    \( m(t) = (2+\lambda)(\lambda-1)^2 \)
En ese caso tendremos :
    \( \begin{array}{l}
    \lambda_1 = -2 \:;\: k_1= 1 \: ;\: \beta_1 = 1 \Rightarrow n_{11} = 1 \\
     \\
    \lambda_2 = 1 \:;\: k_2= 2 \: ;\: \beta_2 = 2 \Rightarrow n_{21} = 2
    \end{array} \)
Y la forma canónica de Jordán será :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    -2 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{array}
    \right) \)
Para encontrar una base de Jordán tomamos los siguientes valores :
    \( \begin{array}{l}
    v_1 \textrm{ asociado a } \lambda = -2 \\
     \\
    v_2 \textrm{ asociado a } \lambda = 1 \\
     \\
    v_3 \: /\: Av_3 = v_2 + v_3 \Rightarrow (A-I)v_3 = v_2
    \end{array} \)
Desarrollando la última ecuación nos queda :
    \( \displaystyle \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & 1 & 0 \\
    -4 & -2 & 0 \\
    4 & -8 & -3 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x \\
    y \\
    z \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    -2 \\
    \frac{20}{3} \\
    \end{array}
    \right)\left\{
    \begin{array}{l}
    4x+2y= 2 \\
     \\
    4x-8y-3z = \frac{20}{3} \\
    \end{array}
    \right. \)
De las anteriores ecuaciones obtenemos las coordenadas del vector \( v_3 \) y podemos observar que aunque la forma canónica de Jordán es única, la base en la que se puede tomar no lo es.
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Página publicada por: José Antonio Hervás