PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de Formas bilineales

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Ejercicios de álgebra

Sabemos que la matriz :
    \( \left(
    \begin{array}{ccc}
    a & 1 & p \\
    b & 2 & q \\
    c & -1 & r \\
    \end{array}
    \right) \)
Admite como vectores propios :
    \( (1,1,0), (-1,0,2) \:y\: (0,1,-1)\)
Hallar los elementos de dicha matriz así como sus autovalores

Respuesta al ejercicio 60
Según la definición de vector propio \( \vec{x} \) tendremos :
    \( M·\vec{x} =\lambda \vec{x} \)
A \( \lambda\) se le llama valor propio o autovalor asociado al vector \( \vec{x} \) aplicando este concepto a nuestro problema tenemos :
    \( \begin{array}{l}
    \left(
    \begin{array}{ccc}
    a & 1 & p \\
    b & 2 & q \\
    c & -1 & r \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) = \lambda \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    1 \\
    0 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    a+1=\lambda \\
    b+2=\lambda \\
    c-1=0 \\
    \end{array}
    \right. \\
     \\
    \left(
    \begin{array}{ccc}
    a & 1 & p \\
    b & 2 & q \\
    c & -1 & r \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{c}
    -1 \\
    0 \\
    2 \\
    \end{array}
    \right) = \mu \left(
    \begin{array}{c}
    -1 \\
    0 \\
    2 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    -a+2p=-\mu \\
    -b+2q=0 \\
    -c+2r=2\mu \\
    \end{array}
    \right. \\
     \\
    \left(
    \begin{array}{ccc}
    a & 1 & p \\
    b & 2 & q \\
    c & -1 & r \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    -1 \\
    \end{array}
    \right) = \nu \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    -1 \\
    \end{array}
    \right) \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    1-p=0 \\
    2-q=\nu \\
    -1-r=-\nu \\
    \end{array}
    \right.
    \end{array}
    \)
Con lo que obtenemos el sistema de ecuaciones :
    \( \displaystyle \left.
    \begin{array}{l}
    a-b= 1 \\
     \\
    c=1 \\
     \\
    b=2q \\
     \\
    2a-4p=-c+2r \\
     \\
    p=1 \\
     \\
    2-q=1+r \\
    \end{array}
    \right\} \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    a=2 \\
     \\
    b=1 \\
     \\
    c=1 \\
     \\
    p=1 \\
     \\
    q= \frac{1}{2} \\
     \\
    r= \frac{1}{2} \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Con lo que la matriz buscada será :
    \( \displaystyle M = \left(
    \begin{array}{ccc}
    2 & 1 & 1 \\
    1 & 2 & \frac{1}{2} \\
    1 & -1 & \frac{1}{2} \\
    \end{array}
    \right) \)
Mientras que los autovalores son :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lambda = a+1=2+1=3 \\
     \\
    \mu = a-2p=2-2=0 \\
     \\
    \nu=2-q=2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
    \end{array} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás