PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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Matemáticas y Poesía

ejercicios resueltos

Enunciado 81

Mostrar que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede poner en la forma:
    \( \displaystyle \frac{p^2}{2m}·a(p) + \int U(p'-p)·a(p')dp' = E·a(p)\)
Dónde se tiene:
    \( \displaystyle U(p'-p) = \frac{1}{2\pi \hbar}\int V(x)·e^{i(p'-p)x/\hbar}dx \)
Y a(p) viene definido por la relación:
    \( \displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int a(p)·e^{i·px/\hbar}dp \)
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Enunciado 82

Se definen los operadores:
    \( \widehat{\triangle A} = \hat{A} - \bar{A} \quad ; \quad \widehat{\triangle B} = \hat{B} - \bar{B} \)
Dónde \( \widehat{A} \; y \; \widehat{B} \) son dos observables de un sistema. Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \left[\widehat{\triangle A} , \widehat{\triangle B} \right] = \left[\hat{A} ,\hat{B} \right] \)
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Enunciado 83

Demostrar que a partir de la " ecuación del movimiento" cuántica para observables independientes del tiempo:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\overline{\left[\hat{H}, \hat{A}\right]} = \frac{i}{\hbar} \int \psi^*\left[\hat{H}, \hat{A}\right] \psi dq \)
Que para una partícula en una dimensión se tiene:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{p}}{dt} = - \overline{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)} \)
Qué es una ecuación análoga a la segunda ley de Newton de la mecánica clásica.
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Enunciado 84

Demostrar a partir de la ecuación del movimiento cuántica en el problema anterior, que en un sistema conservativo (sistema en el que \( \hat{H} \) no depende explícitamente del tiempo) el valor medio de la energía se conserva.
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Enunciado 85

Mostrar que para un estado estacionario de una partícula, valor esperado de \( \bar{r}·\bar{p} \) es constante en el tiempo, es decir:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \bar{r}·\bar{p}\rangle = 0 \)
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Enunciado 86

Dada una función de onda, \( \psi \), de un estado estacionario:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \psi(x) = \sqrt{\frac{1}{\pi}}·\sin \left(\frac{x}{2}\right)\quad para\quad 0 < x < 2\pi \\
     \\
    \psi(x) = 0\quad para\quad x \leq 0 \quad ;\quad x\geq 2\pi \\
    
    \end{array} \)
Para una partícula de masa m con un solo grado de libertad, x, calcúlese:
    i) si la función de onda está normalizada.
    ii) el momento lineal medio de la partícula.
    iii) la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo \( [0\;,\; \pi/2] \).
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Enunciado 87

Las figuras I y II muestran esquemáticamente la parte espacial de dos funciones de onda correspondientes a dos estados estacionarios de una partícula sometida funciones de energía potencial distintas. Hacer un esquema de la forma de función de energía potencial en cada caso.

funciones de onda. Parteespacial
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Enunciado 88

Considerar un pozo de potencial infinito de anchura 2a. La función normalizada de una partícula atrapada en el pozo es de la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \psi = C\left(\cos \frac{\pi x}{2a}+ \sin \frac{3\pi·x}{a}+ \frac{1}{4}·\cos \frac{3\pi·x}{2a}\right) \\
     \\
    \psi = 0\quad, fuera\quad del\quad pozo
    \end{array} \)
pozo de poncial infinito
    i) calcular el coeficiente C.
    ii) si se realiza una medida de la energía total de la partícula,¿ cuáles son los resultados posibles de la medida y cuál es la probabilidad de medir cada uno de ellos?
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Enunciado 89

Un electrón se haya atrapado en un pozo infinito unidimensional de anchura a. En un estante determinado se encuentra en el estado:
    \(\psi(x) = \alpha·x \)
Dónde \( \alpha \) es una constante.
Calcular la probabilidad de que al medir la energía en ese estado resulte el valor de la energía en el estado fundamental.
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Enunciado 90

Explicar cuáles son los efectos sobre los niveles de energía de:
    i) una caja de potencial unidimensional cuando su anchura aumenta y cuando disminuye.
    ii) un pozo de potencial unidimensional con su profundidad aumenta y cuando disminuye.
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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
FÍSICA CUÁNTICA

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Página publicada por: José Antonio Hervás