PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Un electrón se haya atrapado en un pozo infinito unidimensional de anchura a. En un estante determinado se encuentra en el estado:
    \(\psi(x) = \alpha·x \)
Dónde \( \alpha \) es una constante.
Calcular la probabilidad de que al medir la energía en ese estado resulte el valor de la energía en el estado fundamental.

Respuesta del ejercicio 89
En el problema anterior hemos visto que para un pozo infinito de anchura a las funciones propias son:
    \( \displaystyle \begin{array}{c}
    Si\; n\; es \; impar : \;\varphi_n = \cos \frac{n·\pi}{a}·x \\
     \\
    Si\; n\; es \; par : \;\varphi_n = \sin \frac{n·\pi}{a}·x \\
    
    \end{array}\)
De modo que la energía (valores propios) ver cada función propia es:
    \( \displaystyle E = \frac{h^2}{2m}·\frac{n^2\pi^2}{a^2} \)
Así pues, cualquier estado de la partícula viene dado por una combinación lineal de estas funciones propias.
Nos dicen que en un estante determinado el estado en que se encuentra viene descrito por:
    \( \psi(x) = \alpha·x \)
Con \( \alpha \) constante.
Si no la acostamos de forma que para \( x < -a/2 \quad y\quad x > a/2 \) valga cero, la función \( \alpha·x \) no puede describir una partícula en un pozo de potencial infinito, ya que no cumple las condiciones de contorno. En el Intervalo \( [-a/2 \; , \; a/2] \) tenemos:
    \( \displaystyle \alpha·x = \sum_{n=imp}a_n·\cos \frac{n·\pi}{a}·x + \sum_{n=par}b_n·\sin \frac{n·\pi}{a}·x \)
Siendo está una expresión general.
pozo de potencial ifinito
Más rigurosamente, mediante el desarrollo de Fourier podríamos hallar los coeficientes \( a_n\quad y \quad b_n \) que representan a la función \( \alpha·x \). Multiplicariamos escalarmente, y como hemos definido el producto escalar, cada una de las funciones propias por \( \alpha·x \).
Según sabemos por teoría, cuando expresamos la función de onda en la forma:
    \( \psi(x,t) = \sum C_{E_i}(t)·\varphi_E \)
Dónde las \( \varphi_E \) son funciones propias (estados estacionarios), los \(C_{E_i} \) nos daban la probabilidad de encontrar a la partícula con una energía \( E_i \) cuando las \( \varphi_E \) estaban normalizadas.
En este caso, las funciones propias no están normalizadas, y por tanto, la probabilidad de encontrar a la partícula con una energía \( E_i \) vendrá dada por:
    \( \displaystyle a_i^2 = \frac{\{\psi(x)\; ,\; a_i·\cos k·x\}}{(\cos k·x \; ,\; \cos k·x)} \)
Y la probabilidad de encontrar la en un estado fundamental es:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    a_i^2 = \frac{\{\alpha·x\; ,\; a_i·\cos (\pi/a)x\}}{(\cos (\pi/a)x \; ,\; \cos (\pi/a)x)} \\
     \\
    con:\quad (\alpha·x\; ,\; a_i·\cos (\pi/a)x) = \int_{-a/2}^{a/2} \alpha x·a_1\cos \frac{\pi}{a}x·dx \\
    
    \end{array} \)
Y como \( \alpha·x \) es una función impar y \( a_1·\cos k·x \) es par, está integral a lo largo de un periodo es nula. Puesto que el producto escalar del denominador es una constante, resultará finalmente:
    \( a_1 = 0\)
Es decir, la probabilidad de que al medir la energía en el estado \( \alpha·x \), el valor de la energía en el estado fundamental es nula.
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Página publicada por: José Antonio Hervás