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DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Demostrar que a partir de la " ecuación del movimiento" cuántica para observables independientes del tiempo:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\overline{\left[\hat{H}, \hat{A}\right]} = \frac{i}{\hbar} \int \psi^*\left[\hat{H}, \hat{A}\right] \psi dq \)
Que para una partícula en una dimensión se tiene:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{p}}{dt} = - \overline{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)} \)
Qué es una ecuación análoga a la segunda ley de Newton de la mecánica clásica.

Respuesta del ejercicio 83
Según la operación señalada por el corchete, tenemos:
    \( \displaystyle \left[\hat{H}, \hat{p}\right]\psi = \hat{H}·\hat{p}\psi - \hat{p}·\hat{H}\psi \)
Por otro lado, de la expresión general de la ecuación de Schrödinger:
    \( \displaystyle \hat{H}\psi = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)·\psi\quad ; \quad \hat{p}\psi = - i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x} \)
Por lo tanto, consideramos la ecuación denunciado en la forma:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{p}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\overline{\left[\hat{H}, \hat{p}\right]} = \frac{i}{\hbar} \int \psi^*\left[\hat{H}, \hat{p}\right] \psi· dq \)
Sustituyendo los valores de \(\widehat{H} \; y \; \widehat{p} \) nos quedará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\bar{p}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\int\left[ \psi^* \left(- \frac{\hbar^2}{2m}·\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(x)\right)\left(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) -\right. \\
     \\
    -\left. \left(i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(- \frac{\hbar^2}{2m}·\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\psi\right)\right]dq
    \end{array} \)
Y haciendo operaciones y simplificando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\bar{p}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\int \psi^* \left[\frac{i\hbar^3}{2m}\frac{\partial^3 \psi}{\partial x^3} - i\hbar·V(x)\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{i\hbar^3}{2m}\frac{\partial^3 \psi}{\partial x^3}+ i\hbar·\psi\frac{\partial }{\partial x}[V(x)]+ \right. \\
     \\
    \left. i\hbar·V(x)·\frac{\partial\psi }{\partial x}\right] = \frac{i}{\hbar}\int \psi^*·i\hbar·\psi\frac{\partial V }{\partial x}dq = \frac{i}{\hbar}\int \psi^*·i\hbar\frac{\partial V }{\partial x}·\psi dq = \\
     \\
    = i^2 \int \psi^* \frac{\partial V }{\partial x}·\psi dq = - \int \psi^* \frac{\partial V }{\partial x}·\psi dq = - \overline{\left(\frac{\partial V }{\partial x} \right)}
    \end{array} \)
Tal como queríamos encontrar.
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás