PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Las figuras I y II muestran esquemáticamente la parte espacial de dos funciones de onda correspondientes a dos estados estacionarios de una partícula sometida funciones de energía potencial distintas. Hacer un esquema de la forma de función de energía potencial en cada caso.

funciones de onda. Parteespacial

Respuesta del ejercicio 87
La función de onda de un estado estacionario es de la forma:
    \( \displaystyle \psi(x,t) = \varphi(x)·e^{-i(\varepsilon/\hbar)t} \)
Dónde \( \varphi(x) \) es la parte espacial que debe verificar la ecuación diferencial:
    \( \displaystyle \frac{d^2 \varphi}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}[V(x) - E]·\varphi(x) \)
Qué es independiente del tiempo.
El término,
    \( \displaystyle \frac{d^2 \varphi}{dx^2} \)
Representa la rapidez o velocidad de variación de la pendiente (curvatura), y la ecuación nos dice que la curvatura es proporcional a \( \varphi(x) \) y a la diferencia \( [V(x) - E] \). Consideremos los casos que se nos pueden presentar:
i) V > E, entonces \( d^2\varphi/dx^2 \) tiene el mismo signo que \( \varphi(x) \), con lo que \( \varphi(x) \) es convexa hacia el eje OX, es decir, tiene carácter de función exponencial (fig. a)
ii) V < E, entonces \(\varphi(x) \quad y \quad d^2\varphi/dx^2 \) tienen signo opuesto, y \( \varphi(x) \) es cóncava hacia el eje OX, y tiene forma sinusoidal (fig. b)
iii) V = E, entonces \( d^2\varphi/dx^2 = 0\), y \( \varphi(x) \) presenta un punto de inflexión.
velocidad de variación
Intuitivamente basta tener en cuenta que aquellos intervalos espaciales en los que la función \( \varphi(x) \) tiene forma exponencial corresponde a zonas prohibida clásicamente.
En la gráfica de la figura II existe un "punto de retroceso", a, tal que para x > a, \( \varphi(x) \) decrece exponencialmente, y para x < a, \( \varphi(x) \) tiene carácter sinusoidal con una amplitud que decrece uniformemente. Si \( \varphi(x) \) se prolonga hacia la izquierda, no existe punto de retroceso para x < a. Luego, si es \( E_o \) la energía de la partícula en x = a se verifica que \( E_o = V\),y, por lo dicho, en x > a se cumple que \( E_o < V\), y en x < a, \( E_o > V\).
La función \( \varphi(x) \) en la parte x < a una longitud de onda que podemos considerar constante (varía muy poco), y por lo tanto, la curvatura en valor medio va a ser constante a lo largo de toda la gráfica. Luego, el producto \( [V(x) - E]·\varphi(x) \) permanecerá constante, y puesto que \( \varphi(x) \) disminuye en amplitud a medida que disminuye x, el valor \( |V(x)-E|\) se hará cada vez mayor.
En la gráfica I si tienen dos puntos de retroceso, correspondientes a dos puntos de inflexión a y b. Podemos decir que la gráfica corresponde a un estado ligado, del que por ser estacionario, podemos dar su grado de excitación por el número de nodos. Haciendo las mismas consideraciones para la gráfica II, la curva de potencial presenta, entre los valores a y b un máximo (punto e) y dos mínimos (puntos c y d). El valor de V(x) en el punto e, dónde es máximo, no podrá ser superior al valor \( E_o \), pues en tal caso, la curva de \( \varphi(x) \) acusaría un cambio de curvatura (pasaría de ser cóncava a convexa hacia el eje X para volver a ser cóncava cuando \( V(x) = E_o\))
Este es el caso que se muestra en la figura C
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Página publicada por: José Antonio Hervás