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DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Dada una función de onda, \( \psi \), de un estado estacionario:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \psi(x) = \sqrt{\frac{1}{\pi}}·\sin \left(\frac{x}{2}\right)\quad para\quad 0 < x < 2\pi \\
     \\
    \psi(x) = 0\quad para\quad x \leq 0 \quad ;\quad x\geq 2\pi \\
    
    \end{array} \)
Para una partícula de masa m con un solo grado de libertad, x, calcúlese:
    i) si la función de onda está normalizada.
    ii) el momento lineal medio de la partícula.
    iii) la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo \( [0\;,\; \pi/2] \).
Respuesta del ejercicio 86
Para ver si la función está normalizada calculamos su producto escalar. Por ser función de una sola componente libre resulta:
    \( \displaystyle (\psi , \psi) = \int \psi^* \psi·dx \)
Y puesto que \( \psi \) es una función real, \( \psi^* = \psi \), por lo que:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int \psi^2·dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1- \cos x}{2}dx = \\
     \\
    = \frac{1}{2\pi}\left[\int_{0}^{2\pi}dx - \int_{0}^{2\pi}\cos x·dx \right]= \frac{1}{2\pi}·2\pi = 1 = (\psi , \psi) \\
    
    \end{array} \)
Luego la función está normalizada.
ii) para calcular su momento lineal medio, utilizamos la expresión:
    \( \vec{\mathfrak{p}} = (\psi , \hat{\mathfrak{p}}\psi) \)
Siendo \( \hat{\mathfrak{p}} \) el operador momento, que para una sola componente toma la forma:
    \( \displaystyle \hat{\mathfrak{p}} = \left(- i\hbar·\frac{\partial}{\partial x}\right) \)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{\mathfrak{p}}= \int_{0}^{2\pi} \psi^*\left(- i\hbar·\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi·dx \\
     \\
    \frac{\partial \psi}{\partial x} = \sqrt{\frac{1}{\pi}}·\frac{1}{2}·\cos \left(\frac{x}{2}\right) \\
    
    \end{array} \)
Y de ahí:
    \( \displaystyle \vec{\mathfrak{p}} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin \left(\frac{x}{2}\right)(-i·\hbar)·\frac{1}{2}·\cos \left(\frac{x}{2}\right)·dx
    \)
La anterior integral debe ser necesariamente nula, pues \( \hat{\mathfrak{p}} \) debe ser un número real y por tanto, la integral del seno así como la del coseno van a ser reales, pero multiplicando el valor obtenido por la unidad imaginaria, i, nos dará un número complejo puro. Por tanto, \( \vec{\mathfrak{p}} = 0\).
iii) la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo \( [0\;,\; \pi/2] \), es:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    P = \int_{0}^{2\pi}\psi^*·\psi·dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)dx = \\
     \\
    = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(1- \cos x)dx = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \\
    
    \end{array}\)
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Página publicada por: José Antonio Hervás