PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Explicar cuáles son los efectos sobre los niveles de energía de:
    i) una caja de potencial unidimensional cuando su anchura aumenta y cuando disminuye.
    ii) un pozo de potencial unidimensional con su profundidad aumenta y cuando disminuye.
Respuesta del ejercicio 90
La expresión para la energía de los niveles es:
    \( \displaystyle E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m·a^2}·n^2\quad ; \quad con\; n = 1,2,... \)
a) cuando "a" disminuye. Para un determinado valor de n, nivel aumenta de energía. Es decir, abrir cerrando la caja de energía de los niveles va aumentando. En el caso límite, cuando "a" tiende a 0, siempre para valores finitos de n, tenemos que \( E_n \) tiende a infinito.
pozo de potencial ifinito

b) Cuando "a" aumenta. Para un determinado valor de n, el nivel disminuye en energía, según la razón \( 1/a^2 \). En el caso límite, cuando "a" tiende a infinito, tenemos que \( E_n \) tiende a 0; es decir, aparece la cuantificación; los niveles energéticos son " aplastados" nivel 0, y la partícula ya no sería ligada.
ii) acaso no podemos despejar E en función de \( V_o \) utilizamos un método gráfico. Se verifica:
    \( x^2 + y^2 = Cte.\)
Qué es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen, dónde:
    \( x = k·a\quad ; \quad y = \chi·a \)
Con:
    \( \displaystyle k = \frac{\sqrt{2m·E}}{\hbar}\qquad ;\qquad \chi = \frac{\sqrt{2m·(V_o - E)}}{\hbar}\)
pozo de potencial ifinito
a)Si \( V_o \) aumenta, aumenta también \( \chi \) y por consiguiente, aumentará la coordenada 'y', al igual que el radio de la circunferencia; cortaremos un número mayor de veces a la gráfica de las soluciones, es decir, aumentará el número de los estados estacionarios.
Cuando \( V_o \) tiende a infinito, tenemos un número infinito de estados estacionarios, un número infinito de niveles y estamos en el caso de la caja de potencial.
Al aumentar \( V_o \) un poco, aumenta \( \chi \) con lo que también aumenta 'y' pero este aumento de 'y' lleva consigo un aumento de 'x' y por tanto, un aumento de la energía del nivel.
b) Si \( V_o \) disminuye lo hace también \( \chi \) y, por lo tanto, disminuye el radio de la circunferencia, es decir, el número de cortes con la solución va disminuyendo únicamente uno (que no desaparecerá nunca). Los niveles de energía se van saliendo del pozo.
Al disminuir \( V_o \) un poco, disminuye la energía del nivel. Cuando \( V_o \) tienda a 0, la partícula es libre y no hay cuantificación de la energía.
Como caso especial se tiene cuando \( V_o \) tiende a infinito y "a" tiende a 0, pero de tal forma que su producto, \( V_o·a \) es constante.
Para que la función sea integrable \( V_o·a \) en este caso límite, el pozo pasa a ser un potencial " delta de Dirac" con un solo estado estacionario.
De todo esto se deduce que las fuerzas nucleares son y de corto alcance.
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Página publicada por: José Antonio Hervás