PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Mostrar que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede poner en la forma:
    \( \displaystyle \frac{p^2}{2m}·a(p) + \int U(p'-p)·a(p')dp' = E·a(p)\)
Dónde se tiene:
    \( \displaystyle U(p'-p) = \frac{1}{2\pi \hbar}\int V(x)·e^{i(p'-p)x/\hbar}dx \)
Y a(p) viene definido por la relación:
    \( \displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int a(p)·e^{i·px/\hbar}dp \)
Respuesta del ejercicio 81
Vamos a ver que esta forma de la ecuación de Schrödinger es la que resulta en la base del espacio de momentos \( \{|p\rangle\} \). Utilizaremos para ello la llamada " notacion de Dirac", y consideraremos algunos conceptos previos:
Significa el operador unidad por cualquiera de las expresiones:
    \( \displaystyle I = \int |p'\rangle\langle p'|dp'\quad ; \quad I = \int |x\rangle\langle x|dx \)
Veamos como actúa sobre un operador:
    \( \displaystyle \langle P|A|P\rangle = \langle P|A\;I|P\rangle = \langle P|A\int |p'\rangle\langle p'|P\rangle dp' \)
Y siendo A un operador lineal:
    \( \displaystyle \langle P| \int A |p'\rangle\langle p'|P\rangle dp' = \int \langle P| A |p'\rangle\langle p'|P\rangle dp' \)
Habiendo considerado la propiedad distributiva del producto escalar.
Los operadores están definidos en la forma:
    \( \hat{V}|x\rangle = V(x)|x\rangle \;;\; \;\hat{p}^2|p\rangle =p^2|p\rangle \qquad ; \cdots \)
Para proyectar \( Ker\:|\psi\rangle \) , en una base, proyecta sobre ella:
    \( \langle p|\psi\rangle = \psi(p) \quad ; \quad \langle x|\psi\rangle = \psi(x) \)
Pasamos entonces a la resolución del problema. En notación de Dirac, ecuación de schrödinger independiente del tiempo se expresa:
    \( \displaystyle \hat{H}|\psi \rangle= E |\psi \rangle\qquad ; \quad con \; \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V} \)
Por consiguiente, para pasarla a la base \( \{|p\rangle\} \) se proyecta sobre ella:
    \( \displaystyle \langle p| \hat{H}|\psi\rangle = \langle p| E|\psi\rangle = E \langle p|\psi\rangle \Rightarrow \langle p|\frac{\hat{p}^2}{2m}|\psi\rangle + \langle p|V|\psi\rangle = E\langle p|\psi \rangle \)
Y los productos escalares que hemos de terminar son:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E\langle p|\psi \rangle \\
     \\
    \langle p|\frac{\hat{p}^2}{2m}|\psi\rangle = \frac{1}{2m} \langle p|\hat{p}^2|\psi\rangle = \frac{1}{2m}\langle p\hat{p}^2|\psi \rangle = \frac{p^2}{2m}\langle p|\psi \rangle = \frac{p^2}{2m}·\psi(p)
    \end{array} \)
Y para el último de ellos tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \langle p |\hat{V} |p'\rangle = \langle p |\hat{V}·I |\psi\rangle = \int \langle p |\hat{V} |p'\rangle \langle p' |\psi\rangle dp' \\
     \\
    \int\langle p |\hat{V} |p'\rangle a(p')dp' = \int \langle p |\hat{V}·I |p'\rangle a(p')dp' = \\
     \\
    \int\left[\int \langle p |\hat{V} |x\rangle \langle x |p'\rangle a(p')dx\right]dp' = \int\left[\int \langle p |\hat{V} |x\rangle \langle x |p'\rangle dx\right]a(p')dp'
    \end{array} \)
Pero resulta que \( |x\rangle \; y \; |p\rangle \) son elementos de las bases \(\{|x\rangle\} \; y \; \{|p\rangle\} \) por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \langle x|p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{i·px/\hbar}
    \)
Y a partir de ahí, continuando con el problema:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int \left[\int V(x)\langle p| x\rangle \langle x|p'\rangle dx\right]a(p')dp' = \\
     \\
    \int \left[\frac{1}{2\pi \hbar}\int V(x)·e^{-i·px/\hbar}·e^{i·p'x/\hbar}dx\right] a(p')dp' = \\
     \\
    = \int \left[\frac{1}{2\pi \hbar}V(x)·e^{i(p'-p)x/\hbar} dx\right] a(p')dp' = \int U(p'-p)a(p')dp'
    \end{array} \)
Por todo ello, finalmente, tendremos:
    \( \displaystyle \frac{p^2}{2m}a(p) + \int U(p'-p)a(p')dp' = E·a(p) \)
Con las equivalencias indicadas en el enunciado.
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Página publicada por: José Antonio Hervás