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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 61

Dada la función

    \( f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    4-3^x \qquad x < 0 \\
     \\
    2a + x \qquad x \geq 0 \\
    \end{array}
    \right. \)

Determinar qué valor de \( a \) es continua en el punto \( x=0 \)

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones- enunciado 62

Dada la función:

    \( f(x) = \sqrt{x} - E(\sqrt{x}) \)

analizar su continuidad \( \forall \:x\in R \)

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 63

Dada la función:

    \( \displaystyle f(u)= \frac{1}{u^2+u-2} \)

Siendo:

    \( \displaystyle u = f(x) = \frac{1}{x-1} \)

Estudiar su continuidad en todo R.

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 64

Dada la función \( f(x) = \sin x - x+1 \) analizar si tiene alguna raíz.

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 65

Dada la función definida en \( [-2,2] \) , tal que:

    \( f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^2+2 \qquad en \quad -2\leq x < 0 \\
     \\
    - (x^2+2) \qquad en \quad 0 \leq x < 2 \\
    \end{array}
    \right. \)

¿ existe algún punto del intervalo \( [-2,2] \) en el que se tenga\( f(x)= 0 \)

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 66

Dada la función

    \( \displaystyle f(x) = \frac{x^3}{4} - \sin \pi x + 3 \)

Analizar si en el intervalo \( [-2,2] \) existe algún punto en el que se tenga\( f(x) = 7/3 \)

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 67

Dada la función \( y=f(x) \) continúa en \( [0,1] \) demostrar que existe \( \xi \:\in [a,b] \) que cumpla \( f(\xi) = \xi \) si se tiene

    \( 0 \leq f(x) \leq 1 \quad , \quad \forall x\,\in \, [a,b] \)
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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 68

Se dice que una función\( f \) Satisface una condición de Lipschitz de orden \( \alpha \) en \( x_o \) Si existe un \( M>0 \) ( qué puede depender de \( x_o \)) en un entorno \( \varepsilon(x_o) \) tales que cumplen:

    \( \forall x \in \varepsilon^\ast (x_o) \Rightarrow |f(x)-f(x_o)|< M|x-x_o|^{\alpha} \)

Demostrar que una función que satisface una condición de Lipschitz de orden \( \alpha \) es continua en \( x_o \) si \( \alpha >0\) y derivable en \( x_o \) (con derivada nula) si \( \alpha > 1\)

Citar una función que satisface una condición de Lipschitz de orden 1 en \( x_o \) Para la que \( f'(x_o) \) no existe.

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 69

Demostrar que en \( x=0 \) la función:

    \( \displaystyle x \rightarrow f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{cuando }x = 0 \\
    \end{array}
    \right. \)

Es continua pero no derivable.
De igual forma de mostrar, que la función:

    \( \displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^2·\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{donde } x = 0 \\
    \end{array}
    \right. \)

Es continua y derivable en el punto \( x= 0 \)

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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 70

Demostrar que no existe\( f'(0) \) Para la función \( f(x) = E(x)- x \)
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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 71

Demostrar que no es derivable en \( x=1 \) La función:

    \( x \rightarrow f(x) = \sqrt{x^3 - E(x)} \)
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Ejercicios de dominios y continuidad de funciones - enunciado 72

Dada la función:

    \( \displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x^3·\sin \left(\frac{1}{x}\right)\quad , \quad \forall x \neq 0 \\
     \\
    0 \:, \: \textrm{cuando } x = 0 \\
    \end{array}
    \right.\)

Demostrar:

    1) que es continúa en \( x=0 \)
    2) que es diferenciable en \( x=0 \)
    3) calcular \( f'(x)\, ,\, \forall x \, \in \, R \) y demostrar que es continua en \( x=0 \) pero no es diferenciable.
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EJERCICIOS RESUELTOS DE DOMINIOS Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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tema escrito por: José Antonio Hervás