PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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ejercicios resueltos

Enunciado 71

Una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la solución:
    \( \displaystyle x(t) = t^2\)
La ecuación homogénea asociada tiene la solución:
    \( X_h = t + 3\)
¿ cuál es la solución de la ecuación que verifica \( x(2) = 1\)?.
¿ por qué?.¿ cuál es la ecuación?.
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Enunciado 72

Obtener una condición de Lipschitz en la región considerada para las funciones siguientes:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    i) \quad f(t,x) = 4·t^2 + x^2 \quad en\quad S \;; \; |t| \leq 1 \; ;\; |X|\leq 1 \\
    \\
    ii) \quad f(t,x) = a(t)·x + b(t) \quad en\quad S \;; \; |t| \leq 1 \; ;\; |X|\leq 1
    \end{array} \)
\( a \quad y \quad b \) son funciones contínuas en el intervalo \( |t| \leq 1 \).
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Enunciado 73

Dada la ecuación diferencial:
    \( \dot{x} - a(t)·x(t) = f(t) \)
Se sabe que:
    \( \varphi_1(t) , \varphi_2(t) , \varphi_3(t) , \varphi_4(t) \)
Son soluciones tales que:
    \( \begin{array}{l}
    - \varphi_1(t) + \varphi_2(t)= \sin t + 4·\cos t \\
    \\
    - \varphi_3(t) - \varphi_4(t) = \cos t - \sin t
    \end{array} \)
Obtener las funciones \( a(t) \quad y \quad f(t) \) y obtener la solución general de la ecuación. Obtener la solución que verifica \( x(0) = 1\)
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Enunciado 74

Obtener la solución del problema de valor inicial
    \( x^\prime + x = \sin t \quad ; \quad x(0) = -1 \)
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Enunciado 75

Obtener la solución del problema de valor inicial
    \( \displaystyle x^\prime + \frac{2}{t}·x = t \quad ;\quad x(1) = 1 \)
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Enunciado 76

Hállense las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
    \( x^2 - y^2 = c·x\)
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Enunciado 77

Resolver la ecuación diferencial:
    \( t^2·x^\prime + t·x + t^2·x^2 = 4 \)
Sabiendo que una solución particular es:
    \( \displaystyle x_1(t) = \frac{2}{t} \)
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Enunciado 78

Resolver la ecuación diferencial:
    \( x·x^{\prime\prime} - 2·x·x^\prime·(\ln x) = (x^\prime)^2 \)
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Enunciado 79

Dibujar aproximadamente a partir de la ecuación diferencial las soluciones de:
    \( x^\prime = x·(1 + x)^{1/3} \)
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Enunciado 80

Estudiar si la función siguiente satisface alguna condición de Lipchitz global o local respecto de x.
    \( f(t,x) = 1 + x^2\)
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales


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Página publicada por: José Antonio Hervás