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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

El caso más sencillo de todos ellos viene dado por



Más generalmente, una ecuación de primer orden y primer grado viene expresada en la forma:



Puede ocurrir que las funciones P(x, y) y Q(x, y) sean sólo función de x e y respectivamente, es decir, P(x) y Q(y), con lo que tenemos:



Si denotamos por t a las variables x e y en el dominio de existencia de la función considerada podemos poner:



Y resulta:



En la práctica, si tenemos una ecuación diferencial con variables separadas debemos integrar por separado, es decir:



Como queremos encontrar una solución particular y(x0) = y0 hacemos:



Y este valor de C0 se pone en la solución general:



Otro tipo de ecuaciones que se puede presentar es el llamado de diferenciales exactas. Sea una ecuación diferencial de la forma:



Diremos que dicha ecuación es una ecuación diferencial exacta si existe una función U(x,y) que verifique:



En estas condiciones podemos poner:



La condición necesaria y suficiente para que la ecuación estudiada sea diferencial exacta es que se cumpla:



Pues en ese caso tenemos:



Si diferenciamos esta expresión respecto de y, y la igualamos con Q(x,y) nos queda:



Para que esta función esté bien construida no tiene que depender de x, es decir:



Tenemos entonces:



Y la expresión se cumple si y solo si Py = Qx, como queríamos demostrar.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

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tema escrito por: José Antonio Hervás