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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Ejemplo 1.- sea la función diferencial:



Solución

Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas hacemos:



Y tenemos:



Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas, podemos calcular con facilidad la función integral:



Para conocer el valor de la función φ(x) derivamos U(x, y) respecto de y, e igualamos el resultado a Q:



Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:



Ejemplo 2.- sea la función diferencial:



Solución

Para ver si es diferencial exacta hacemos:



Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente, podemos poner:



E integrando:



Derivando ahora respecto de y e igualando a Q:



Con lo que la solución general de la ecuación será:



Ejemplo 3.- sea la función diferencial:



Solución.

Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuación no es una ecuación diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los términos por 1/xy² nos queda:



Con lo que obtenemos una ecuación diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el método que estamos desarrollando:



Derivando respecto de y e igualando a Q:



Y de esa forma, la solución general será:



Que es válida para todos los puntos en los que se cumpla que x e y son distintos de 0.

Aparte de la solución general, podemos ver que existe una solución singular para el caso y = 0 ó x = 0 ya que entonces la ecuación se verifica trivialmente.

El término 1/xy² recibe el nombre de factor integrante y resulta fácil comprobar que, en general, introduce soluciones singulares en los casos en los que se opera con él.

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tema escrito por: José Antonio Hervás