ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DEFINICIONES GENERALES

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Hemos visto en el capítulo anterior que la expresión general de una ecuación diferencial de primer orden es



No obstante, en algunos casos, puede ocurrir que la ecuación venga expresada en la forma:

y' = f(x, y)

Que es la forma normal de una ecuación diferencial de primer orden.

Estas expresiones tienen una interpretación geométrica. Sea en una cierta región del plano XY un haz de curvas dado por la ecuación:

y = F(x, C)

Tal que a cada par de valores de x e y en R corresponda un valor de C, es decir, que por cada punto de R pase una curva y sólo una del haz. Podemos poner entonces:

C = φ(x, y)

Y derivando respecto de x:



Esta ecuación, por ser independiente de C queda satisfecha para todas las curvas del haz y representa una propiedad de todas ellas referente a la tangente. Se llama ecuación diferencial del haz.

Vemos entonces que la obtención de la ecuación diferencial de un haz de curvas planas es un problema de derivación y eliminación. Nos interesa ahora resolver el problema inverso, dada una ecuación normal de primer orden,



Hallar el haz de curvas que la satisface. Este haz se llamará haz integral de (1).

El problema da lugar a varias preguntas: dada la ecuación (1), ¿existe una región del plano tal que para cada punto (xo, yo) de la misma sea posible hallar una curva y solo una que pasa por el y satisfaga la ecuación diferencial dada?. La pregunta planteada tiene contestación afirmativa si f(x, y) cumple ciertas condiciones como, por ejemplo, la de ser analítica, es decir, desarrollable en serie de Taylor y, por tanto, derivable cuantas veces se quiera. Tal es el TEOREMA DE EXISTENCIA que puede enunciarse en la forma:

Si f(x, y) es analítica en un cierto dominio al que pertenece (x₀, y₀) en un cierto entorno de (x₀, y₀), entonces existe una función analítica y solo una, y(x) que verifica la ecuación diferencial y tal que y(x₀) = yo.

Ver la demostración del teorema de existencia.

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