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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Reciben el nombre de ecuaciones diferenciales lineales las ecuaciones de primer grado en y e y’, es decir, las que pueden expresarse en la forma:



Para resolver una ecuación lineal podemos ponerla en la forma:



Y será una diferencial exacta si verifica:



Con lo que podemos poner:



E integrando:



El primer sumando de la anterior expresión es una solución particular de la ecuación lineal correspondiente a C = 0. Cuando la función R(x) es nula, se obtiene la solución



Que recibe el nombre de solución homogénea.

Así pues, la integral general de una ecuación lineal que sea diferencial exacta puede obtenerse sumando a la solución particular (C = 0) la solución homogénea:
    yG = yp + yh
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:
    x²y' + 2xy = sin x
Respuesta

Tenemos un ejemplo de lo visto en el párrafo precedente y podemos poner:



Naturalmente, existen funciones lineales de la forma



En las que se tiene . En este caso es necesario buscar un factor integrante. Consideremos, por ejemplo, la ecuación:



Esta ecuación es lineal pero no cumple , por lo que debemos considerar un factor integrante. Multiplicando por x todos los términos resulta:



E integrando:



Es fácil ver que el factor integrante será de la forma μ(x) por lo que podemos aplicar la expresión determinada anteriormente para calcularlo:



Existe otro método para determinar la forma general del factor integrante en las ecuaciones lineales. Si la ecuación no es diferencial exacta la multiplicamos por el factor integrante con lo que se tiene:



Y separando variables:



Como caso particular podemos considerar el ejemplo que estamos tratando:



Resumiendo, podemos decir que la solución general de una ecuación diferencial lineal viene dada por:



EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

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tema escrito por: José Antonio Hervás