Estás en > Matemáticas y Poesía > Tutoriales y Manuales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Sea la ecuación diferencial no exacta:



Podemos introducir un factor integrante μ para convertirla en exacta, con lo que tenemos:



Y a partir de ahí podemos poner:



El factor integrante se define como una función μ(x,y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial dada por ella, se transforma en una ecuación diferencial exacta. Aplicando el factor integrante se debe tener:



En principio, la ecuación resultante es una ecuación en derivadas parciales, más difícil que la que deseamos resolver; no obstante, como no nos interesa conocer todos los factores integrantes sino solo algunos, podemos determinar los casos más sencillos como, por ejemplo μ = μ(x) para el que se tiene:



Y la integral se podrá resolver si se cumple:



Así, por ejemplo, para la ecuación:



Podemos poner:



Con lo que la ecuación queda en la forma:



De forma análoga podemos calcular los factores integrantes que sólo dependan de y, para lo cual se ha de cumplir:



Otro caso sencillo para calcular el factor integrante es aquel que cumple:



Es decir, que μ es solo función de una función que liga de forma sencilla a las variables, tal como por ejemplo x+y ó x.y. En este caso se tiene:



Los casos anteriores son casos particulares de este. Así en el caso de que v(x,y) = x tenemos:



Para los otros dos ejemplos que hemos considerado tenemos:



Si la función U(x,y) = C es una solución de la ecuación diferencial



Entonces la función



Es un factor integrante.

Demostración.- Tenemos:



Y a partir de ahí:



Recíprocamente, podemos decir que si la ecuación diferencial anterior tiene un factor integrante, este será de la forma dada por (*).

Una vez hallado un factor integrante, μ(x,y) y determinado con su auxilio el haz integral en la forma U(x, y) = C, es fácil ver que el producto μγ(U) , donde γ es una función integrable cualquiera, es también un factor integrante. En efecto:



Y esta última expresión corresponde a la diferencial exacta de una nueva función de U y, por tanto, de x e y, que nos da Φ(x, y) = C. Queda así probada la existencia de infinitos factores integrantes (dependientes de una función arbitraria).

Cuando hacemos la integración por distintos métodos puede ocurrir que lleguemos a resultados diferentes, no obstante, el haz de curvas es el mismo en ambos casos. Si la ecuación:



Es diferencial exacta y μ(x, y) es una función que la mantiene exacta, entonces μ(x, y) = C es una solución de la ecuación. En efecto, tenemos:



Si multiplicamos la ecuación diferencial por μy o por μx nos queda:



Pero teniendo en cuenta (A):



Si tenemos una ecuación diferencial no exacta y conocemos dos factores integrantes μ y λ linealmente independientes, entonces λ/μ = C es una solución de la ecuación. Tenemos:



Si multiplicamos la segunda ecuación por λ/μ obtenemos la primera y, entonces, podemos aplicar el teorema anterior, con lo que λ/μ = C es una solución de la ecuación diferencial.

Si tenemos una ecuación diferencial y’ = f(x,y) de la que conocemos dos soluciones :



Entonces existe una relación funcional entre las dos constantes, es decir F(C1, C2) = 0. Esto es así pues tenemos:



Para que este sistema tenga solución, el determinante debe ser nulo:



Y, por lo tanto, el jacobiano verificará:



Como queríamos demostrar.

barra de navegación > Capítulo anterior > > Inicio de la monografía sobre ecuaciones diferenciales

 

OTROS CONTENIDOS EN EL SITIO MATEMÁTICAS Y POESÍA

¡Si esta página te ha sido de utilidad, recomiéndola!





tema escrito por: José Antonio Hervás