PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 40

Planteamos como en otras ocasiones la ecuación (*) dada en el ejercicio 35. En nuestro caso tenemos:
    \(\displaystyle \frac{dx}{2p-x} = \frac{dy}{-1} = \frac{dz}{2p^2 - xp - q} = \frac{dp}{p} = \frac{dq}{0}\)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dy}{-1} = \frac{dp}{p} \; \; \rightarrow \; \; y + \ln p = \ln C \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; \ln (Kp) = - y \; \; \rightarrow \; \; p = K_1e^{-y} \end{array}\)
Para despejar q lo hacemos de la ecuación del enunciado:
    \( q = p^2 - xp = K_1^2 e^{-2y} - K_1 xe^{-y}\)
Y de ese modo tenemos:
    \(\begin{array}{l} dz = pdx + qdy = \\  \\ = K_1e^{-y}dx + (K_1^2e^{-2y} - K_1xe^{-y})dy \end{array}\)
Y haciendo x constante nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dz = (K_1^2·e^{-2y} - K_1·x·e^{-y})dy \; \; \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow \; \; z = - \frac{K_1^2}{2}·e^{-2y} + K_1·x·e^{-y} + \varphi(x)
    \end{array}\)
Diferenciando e identificando:
    \(dz = K_1^2e^{-2y}dy - K_1e^{-y}dx - K_1xe^{-y}dy + \varphi'(x)dx\)
Con lo que resulta:
    \( \varphi'(x) = 0 \; \; \rightarrow \; \; \varphi (x) = K_2\)
Y finalmente:
    \( \displaystyle z = - \frac{K_1^2}{2}·e^{-2y} + K_1·x·e^{-y} + K_2\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás